Calcule as integrais duplas.
é a região do primeiro quadrante compreendida por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você trouxe. A questão pede para calcular a integral de
sobre a região
, que está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas
e
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas, para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender bem a região
. Ela está no primeiro quadrante, o que significa que tanto
quanto
são positivos. As curvas que definem a região são
e
. Vamos esboçar essas curvas para visualizar a área que vamos integrar.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de integração. Igualando
e
:
Resolvendo isso, temos
, ou seja,
. As soluções são
e
. Como estamos no primeiro quadrante, consideramos apenas
e
.
Passo 4
Agora, determinamos quais curvas estão por cima e por baixo no intervalo de integração. Para
,
está acima de
porque, por exemplo, quando
,
e
. Então, a região
é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 5
Com isso, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
de
a
, e depois em relação a
de 0 a 1.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Substituindo
:
E substituindo
, todos os termos são zero.
Passo 8
Vamos calcular os valores:
Então, o valor da integral é aproximadamente
.
Resposta
A integral dupla vale aproximadamente
.