Calcule as integrais duplas. integral duplaD(x-1) d A, D é a região do primeiro quadrante compreendida por y=x e y=x^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você trouxe. A questão pede para calcular a integral de (x-1) sobre a região D, que está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas y = x e y = x^3. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas, para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender bem a região D. Ela está no primeiro quadrante, o que significa que tanto x quanto y são positivos. As curvas que definem a região são y = x e y = x^3. Vamos esboçar essas curvas para visualizar a área que vamos integrar.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de integração. Igualando y = x e y = x^3:
x = x^3
Resolvendo isso, temos x^3 - x = 0, ou seja, x(x^2 - 1) = 0. As soluções são x = 0 e x = pm1. Como estamos no primeiro quadrante, consideramos apenas x = 0 e x = 1.

Passo 4

Agora, determinamos quais curvas estão por cima e por baixo no intervalo de integração. Para 0 <= x <= 1, y = x está acima de y = x^3 porque, por exemplo, quando x = 0.5, x = 0.5 e x^3 = 0.125. Então, a região D é limitada inferiormente por y = x^3 e superiormente por y = x.

Passo 5

Com isso, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
integral duplaD (x - 1) , dA = integralx=0^1 integraly=x^3^x (x - 1) , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a y de x^3 a x, e depois em relação a x de 0 a 1.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integraly=x^3^x (x - 1) , dy = (x - 1) integraly=x^3^x dy = (x - 1)(x - x^3) = (x - 1)(x(1 - x^2))
Simplificando:
(x - 1)(x - x^3) = x^2 - x^4 - x + x^3 = -x^4 + x^3 + x^2 - x

Passo 7

Agora, integramos essa expressão em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 (-x^4 + x^3 + x^2 - x) , dx = [ -x^55 + x^44 + x^33 - x^22 ]0^1
Substituindo x = 1:
- 15 + 14 + 13 - 12
E substituindo x = 0, todos os termos são zero.

Passo 8

Vamos calcular os valores:
- 15 + 14 + 13 - 12 = -0,2 + 0,25 + 0,3333 - 0,5 = -0,1167
Então, o valor da integral é aproximadamente -0,1167.

Resposta

A integral dupla vale aproximadamente -0,1167.

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