Calcule a integral trocando a ordem de integração. integral0^1 integral4 x^4 e^-y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve trocar a ordem de integração. O enunciado nos dá a integral dupla:
integral0^1 integral4x^4 e^-y^2 , dy , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que fazem parte da matéria de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar a região de integração e como trocar a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde estamos integrando. A variável vai de 0 a 1, e para cada fixo, varia de até 4. Vamos desenhar isso no plano .

Passo 3

Desenhando no plano , temos uma linha que vai de a . A outra limite de é a linha horizontal . Assim, a região de integração é um trapézio com base inferior na linha , lado esquerdo na linha , lado direito na linha , e topo na linha .

Passo 4

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Para isso, precisamos reescrever os limites de integração.

Passo 5

Observando a região, para um fixo, vai de 0 a 4. Para cada , varia de 0 até , já que implica .

Passo 6

Então, a integral com a ordem de integração trocada fica:
integral0^4 integral0^y4 e^-y^2 , dx , dy

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral interna em integral0^y4 e^-y^2 , dx = e^-y^2 cdot [ x ]0^y4 = e^-y^2 cdot y4 . Como não depende de , podemos tratá-lo como uma constante em relação a :

Passo 8

Substituindo isso na integral externa, temos:
integral0^4 y4 e^-y^2 , dy

Passo 9

Agora, vamos resolver essa integral. Vamos fazer a substituição 14 integralu=0^u=16 12 e^-u , du = 18 integral0^16 e^-u , du , então ou . Substituindo:

Passo 10

A integral de 18 [ -e^-u ]0^16 = 18 ( -e^-16 + e^0 ) = 18 (1 - e^-16) é simplesmente , então:

Resposta

18 (1 - e^-16)

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