Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que envolve trocar a ordem de integração. O enunciado nos dá a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que fazem parte da matéria de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar a região de integração e como trocar a ordem das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde estamos integrando. A variável
vai de 0 a 1, e para cada
fixo,
varia de
até 4. Vamos desenhar isso no plano
.
Passo 3
Desenhando no plano
, temos uma linha
que vai de
a
. A outra limite de
é a linha horizontal
. Assim, a região de integração é um trapézio com base inferior na linha
, lado esquerdo na linha
, lado direito na linha
, e topo na linha
.
Passo 4
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração.
Passo 5
Observando a região, para um
fixo,
vai de 0 a 4. Para cada
,
varia de 0 até
, já que
implica
.
Passo 6
Então, a integral com a ordem de integração trocada fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral interna em
. Como
não depende de
, podemos tratá-lo como uma constante em relação a
:
Passo 8
Substituindo isso na integral externa, temos:
Passo 9
Agora, vamos resolver essa integral. Vamos fazer a substituição
, então
ou
. Substituindo:
Passo 10
A integral de
é simplesmente
, então:
Resposta
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Calcule as integrais duplas.
é a região do primeiro quadrante compreendida por
e
.
O que as seguintes sentenças significam? (Vale 1,25pts.)
(e) tem um ponto de sela em
.
(e)
Responda: (Vale 0,75pts.)
(a) Se tem um máximo local em
, o que você pode dizer de suas derivadas parciais em (a,b)?
(a) Se