Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
Vamos resolver o seguinte exercício:
Conteúdo da matéria: Integrais múltiplas e troca de ordem de integração.
O que vamos precisar: Compreender como trocar a ordem de integração em uma integral dupla e aplicar a substituição adequada para resolver integrais envolvendo funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Atualmente, estamos integrando com respeito a de até 2, e com respeito a de 0 até 4.
Para trocar a ordem de integração, precisamos descrever a mesma região, mas integrando primeiro com respeito a e depois com respeito a .
Passo 3
Vamos traçar os limites de integração atuais:
varia de 0 a 4.
Para cada , varia de a 2.
Isso descreve uma região onde está entre e 2, e está entre 0 e 4.
Passo 4
Ao trocar a ordem de integração, queremos que seja a primeira variável a variar. Observando a região:
varia de 0 a 2.
Para cada , varia de 0 até (já que é a inversa de ).
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração trocada:
Passo 6
Observamos que a função não depende de , então a integral interna em relação a é simples:
Passo 7
Agora, nossa integral se simplifica para:
Passo 8
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição: