Calcule a integral trocando a ordem de integração.

Passo 1

Vamos resolver o seguinte exercício:
Conteúdo da matéria: Integrais múltiplas e troca de ordem de integração.
O que vamos precisar: Compreender como trocar a ordem de integração em uma integral dupla e aplicar a substituição adequada para resolver integrais envolvendo funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Atualmente, estamos integrando com respeito a de até 2, e com respeito a de 0 até 4.
Para trocar a ordem de integração, precisamos descrever a mesma região, mas integrando primeiro com respeito a e depois com respeito a .

Passo 3

Vamos traçar os limites de integração atuais:
  • varia de 0 a 4.
  • Para cada , varia de a 2.
Isso descreve uma região onde está entre e 2, e está entre 0 e 4.

Passo 4

Ao trocar a ordem de integração, queremos que seja a primeira variável a variar. Observando a região:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até (já que é a inversa de ).

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração trocada:

Passo 6

Observamos que a função não depende de , então a integral interna em relação a é simples:

Passo 7

Agora, nossa integral se simplifica para:

Passo 8

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Seja , então , ou seja, .

Passo 9

Substituindo na integral:

Passo 10

Resolvendo a integral:

Resposta

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