Use integração dupla para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas dadas. y^2 = 9 - x e y^2 = 9 - 9 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar integração dupla para calcular a área da região que está limitada pelas curvas e . Basicamente, vamos descobrir onde essas curvas se cruzam e depois integrar para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso vai nos dizer os limites da nossa área.
Temos:
Como ambas são iguais a , podemos igualar as duas expressões:
Resolvendo para :
Agora que temos , podemos achar o valor de :
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos visualizar qual curva está acima da outra para definir os limites da integração.
Observando as equações:
Podemos reescrever ambas para :
Como é menor que para fixo, a segunda curva está à esquerda da primeira.
Então, para cada valor de entre -3 e 3, varia de até .

Passo 4

Vamos montar a integral dupla para calcular a área:
A área será:
Primeiro, integramos em relação a :
Simplificando isso:
Agora, integramos isso em relação a :
Essa integral é simétrica, então podemos calcular de 0 a 3 e multiplicar por 2:

Resposta

A área da região planejada é 32 unidades quadradas.

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