Use integração dupla para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas dadas.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar integração dupla para calcular a área da região que está limitada pelas curvas
e
. Basicamente, vamos descobrir onde essas curvas se cruzam e depois integrar para achar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso vai nos dizer os limites da nossa área.
Temos:
Como ambas são iguais a
, podemos igualar as duas expressões:
Resolvendo para
:
Agora que temos
, podemos achar o valor de
:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos visualizar qual curva está acima da outra para definir os limites da integração.
Observando as equações:
Podemos reescrever ambas para
:
Como
é menor que
para
fixo, a segunda curva está à esquerda da primeira.
Então, para cada valor de
entre -3 e 3,
varia de
até
.
Passo 4
Vamos montar a integral dupla para calcular a área:
A área
será:
Primeiro, integramos em relação a
:
Simplificando isso:
Agora, integramos isso em relação a
:
Essa integral é simétrica, então podemos calcular de 0 a 3 e multiplicar por 2:
Resposta
A área da região planejada é 32 unidades quadradas.