Calcule as Integrais Duplas: integral duplaR raiz9-y^2 d A ; R=[0,4] times[0,2].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma Integral Dupla da função raiz9 - y^2 sobre a região R, que é o retângulo definido por [0,4] times [0,2]. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, onde a gente integra uma função de duas variáveis sobre uma região específica no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R = [0,4] times [0,2]. Isso significa que x varia de 0 a 4 e y varia de 0 a 2. Então, nossa integral dupla vai passar por todos os pontos dentro desse retângulo.

Passo 3

A integral dupla pode ser resolvida iterando integrais simples. Podemos integrar primeiro em relação a x de 0 a 4 e depois em relação a y de 0 a 2. A função que vamos integrar é raiz9 - y^2, que só depende de y, então isso vai facilitar a conta.

Passo 4

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
integral0^2 integral0^4 raiz9 - y^2 , dx , dy
Aqui, a gente integra primeiro em x de 0 a 4 e depois em y de 0 a 2.

Passo 5

Integrando raiz9 - y^2 em relação a x, tratamos raiz9 - y^2 como uma constante porque não depende de x. Então, a integral em x fica:
integral0^4 raiz9 - y^2 , dx = raiz9 - y^2 cdot x |0^4 = 4raiz9 - y^2

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral em y:
4 integral0^2 raiz9 - y^2 , dy
Então, nossa tarefa agora é calcular essa integral.

Passo 7

Para integrar raiz9 - y^2 em relação a y, usamos uma fórmula de integral padrão:
integral raiza^2 - y^2 , dy = y2 raiza^2 - y^2 + a^22 sin^-1(ya) + C
No nosso caso, a = 3, então a integral se torna:
integral raiz9 - y^2 , dy = y2 raiz9 - y^2 + 92 sin^-1(y3) + C

Passo 8

Aplicando os limites de 0 a 2:
[ y2 raiz9 - y^2 + 92 sin^-1(y3) ]0^2
Avaliar no limite superior:
22 raiz9 - 4 + 92 sin^-1(23) = raiz5 + 92 sin^-1(23)
No limite inferior, quando y = 0:
0 + 92 sin^-1(0) = 0
Portanto, a integral definida é:
raiz5 + 92 sin^-1(23)

Passo 9

Finalmente, multiplicamos esse resultado por 4, conforme tínhamos fatorado antes:
4 ( raiz5 + 92 sin^-1(23) ) = 4raiz5 + 18 sin^-1(23)

Resposta

A Integral Dupla é igual a 4raiz5 + 18, sin^-1(dfrac23).

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