Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma Integral Dupla da função sobre a região , que é o retângulo definido por . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, onde a gente integra uma função de duas variáveis sobre uma região específica no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Isso significa que varia de 0 a 4 e varia de 0 a 2. Então, nossa integral dupla vai passar por todos os pontos dentro desse retângulo.
Passo 3
A integral dupla pode ser resolvida iterando integrais simples. Podemos integrar primeiro em relação a de 0 a 4 e depois em relação a de 0 a 2. A função que vamos integrar é , que só depende de , então isso vai facilitar a conta.
Passo 4
Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Aqui, a gente integra primeiro em de 0 a 4 e depois em de 0 a 2.
Passo 5
Integrando em relação a , tratamos como uma constante porque não depende de . Então, a integral em fica:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral em y:
4 integral0^2 raiz9 - y^2 , dy
Então, nossa tarefa agora é calcular essa integral.
Passo 7
Para integrar raiz9 - y^2 em relação a y, usamos uma fórmula de integral padrão:
integral raiza^2 - y^2 , dy = y2 raiza^2 - y^2 + a^22 sin^-1(ya) + C
No nosso caso, a = 3, então a integral se torna:
integral raiz9 - y^2 , dy = y2 raiz9 - y^2 + 92 sin^-1(y3) + C