Use os testes da comparação para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem.
. Dica: use o teste da comparação direta com a
-série
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Isso está dentro da matéria de séries infinitas, mais especificamente usando o teste de comparação direta. Pra resolver isso, vamos comparar com uma série que a gente já conhece bem: a p-série
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que a gente quer analisar:
. Aqui, o numerador é
e o denominador é
. Conforme
cresce, os termos da série tendem a se comportar de uma certa maneira que vai indicar se a série converge ou diverge.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão
. Quando
é muito grande, o
no denominador se torna menos relevante, então podemos aproximar
. Assim, nossa fração fica aproximadamente
.
Passo 4
A gente sabe que a série
é uma p-série com
. Como
, essa série converge. Vamos usar isso para comparar com a nossa série original.
Passo 5
Observando as duas séries, temos:
Isso porque
, então o denominador maior faz a fração menor. Como
é uma série que converge, e nossa série original é menor ou igual a ela, pelo teste de comparação direta, a série
também converge.
Resposta
A série
converge.