Use os testes da comparação para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem. sumn=1^infty n2 n^3+1. Dica: use o teste da comparação direta com a p-série sumn=1^infty 1n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Isso está dentro da matéria de séries infinitas, mais especificamente usando o teste de comparação direta. Pra resolver isso, vamos comparar com uma série que a gente já conhece bem: a p-série .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que a gente quer analisar: . Aqui, o numerador é e o denominador é . Conforme cresce, os termos da série tendem a se comportar de uma certa maneira que vai indicar se a série converge ou diverge.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão . Quando é muito grande, o no denominador se torna menos relevante, então podemos aproximar . Assim, nossa fração fica aproximadamente .

Passo 4

A gente sabe que a série é uma p-série com . Como , essa série converge. Vamos usar isso para comparar com a nossa série original.

Passo 5

Observando as duas séries, temos:
n2 n^3+1 <= n2 n^3 = 12 n^2
Isso porque , então o denominador maior faz a fração menor. Como é uma série que converge, e nossa série original é menor ou igual a ela, pelo teste de comparação direta, a série também converge.

Resposta

A série converge.

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