Use os testes da comparação para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem. sumn=2^infty raiznn-1. Dica: use o teste da comparação direta com a p-série sumn=1^infty 1raizn

Passo 1

Beleza! A gente tem que analisar a série infinita e descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Comparação Direta. A dica é comparar com a p-série . Então, precisamos entender como essas séries se comportam e se uma pode ser comparada com a outra de forma útil.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma p-série. É uma série do tipo . Ela converge se e diverge se . A série sugerida para comparação é . Aqui, , que é menor que 1, então essa série diverge.

Passo 3

Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Vamos analisar o termo geral da nossa série original:
raiznn - 1
Podemos simplificar esse termo para facilitar a comparação. Note que para n - 1 <= n ,
raiznn - 1 >= raiznn = 1raizn
Então,
Isso nos mostra que cada termo da nossa série é maior ou igual ao termo correspondente da p-série que diverge.

Passo 4

De acordo com o Teste da Comparação Direta, se compararmos com uma série que já sabemos que diverge e os termos da nossa série forem maiores ou iguais aos da série divergente, então a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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