Encontre as dimensões de uma caixa com volume de
que tenha a área de sua superfície mínima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as dimensões de uma caixa que tem um volume de
e que, além disso, tenha a área da superfície mínima possível. Isso entra na matéria de otimização, onde a gente busca o melhor resultado (neste caso, a menor área de superfície) dentro de certas condições (como o volume fixo). Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo e entender as fórmulas de volume e área de superfície de uma caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar as dimensões da caixa de comprimento (
), largura (
) e altura (
), todas em centímetros.
Sabemos que o volume (
) da caixa é dado por:
E a área da superfície (
) da caixa é calculada por:
Nosso objetivo é minimizar
sabendo que
.
Passo 3
Para minimizar a área de superfície, vamos usar uma técnica de otimização. A ideia é expressar todas as variáveis em termos de uma única variável e então encontrar o valor que minimiza a área.
Vamos resolver a equação do volume para uma das variáveis, por exemplo,
:
Agora, substituímos
na fórmula da área de superfície:
Para simplificar, vamos supor que a caixa seja um paralelepípedo regular, ou seja,
. Isso geralmente dá a menor área de superfície para um volume fixo.
Passo 4
Assumindo que
, substituímos na fórmula do volume:
Portanto, todas as dimensões da caixa são iguais a 10 cm.
Resposta
As dimensões da caixa são 10 cm x 10 cm x 10 cm.
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.
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