Encontre as dimensões de uma caixa com volume de 1000 cm^3 que tenha a área de sua superfície mínima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as dimensões de uma caixa que tem um volume de e que, além disso, tenha a área da superfície mínima possível. Isso entra na matéria de otimização, onde a gente busca o melhor resultado (neste caso, a menor área de superfície) dentro de certas condições (como o volume fixo). Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo e entender as fórmulas de volume e área de superfície de uma caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar as dimensões da caixa de comprimento ( ), largura ( ) e altura ( ), todas em centímetros.
Sabemos que o volume ( ) da caixa é dado por:
E a área da superfície ( ) da caixa é calculada por:
Nosso objetivo é minimizar sabendo que .

Passo 3

Para minimizar a área de superfície, vamos usar uma técnica de otimização. A ideia é expressar todas as variáveis em termos de uma única variável e então encontrar o valor que minimiza a área.
Vamos resolver a equação do volume para uma das variáveis, por exemplo, :
Agora, substituímos na fórmula da área de superfície:
Para simplificar, vamos supor que a caixa seja um paralelepípedo regular, ou seja, . Isso geralmente dá a menor área de superfície para um volume fixo.

Passo 4

Assumindo que , substituímos na fórmula do volume:
Portanto, todas as dimensões da caixa são iguais a 10 cm.

Resposta

As dimensões da caixa são 10 cm x 10 cm x 10 cm.

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