O sólido limitado acima pelo paraboloide , abaixo pelo plano e lateralmente pelos planos , e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sólido que é limitado de cima por um paraboloide dado pela equação , de baixo pelo plano (que é o plano xy), e pelos lados pelos planos , , e . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente integrais duplas, para encontrar o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. O paraboloide abre para cima, e queremos o volume entre esse paraboloide e o plano dentro dos limites dados para x e y. Ou seja, vamos calcular a integral dupla da função sobre a região retangular definida por e .

Passo 3

Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, representa a altura do paraboloide em cada ponto (x, y), e estamos somando todas essas alturas sobre a área da base.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Calculando cada parte:
Somando ambos:

Resposta

O volume do sólido é de 170 unidades cúbicas.

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