O sólido limitado acima pelo paraboloide
, abaixo pelo plano
e lateralmente pelos planos
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sólido que é limitado de cima por um paraboloide dado pela equação
, de baixo pelo plano
(que é o plano xy), e pelos lados pelos planos
,
,
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente integrais duplas, para encontrar o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. O paraboloide
abre para cima, e queremos o volume entre esse paraboloide e o plano
dentro dos limites dados para x e y. Ou seja, vamos calcular a integral dupla da função
sobre a região retangular definida por
e
.
Passo 3
Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume
é:
Aqui,
representa a altura do paraboloide em cada ponto (x, y), e estamos somando todas essas alturas sobre a área da base.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Calculando cada parte:
Somando ambos:
Resposta
O volume do sólido é de 170 unidades cúbicas.