Calcule as integrais duplas onde D é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. integral duplaD e^x+y d A, D=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= ln (2), 0 <= y <= ln (2). (Resp: 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre um retângulo D. A integral que vamos resolver é , onde D é definido por e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que servem para calcular a área sob uma superfície em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é uma integral dupla. Ela basicamente nos permite somar infinitesimais áreas multiplicadas pelo valor da função em cada ponto dessa área. No nosso caso, a região D é um retângulo com lados de comprimento .

Passo 3

Para calcular a integral dupla, podemos separar as integrais em duas integrais simples, uma em relação a x e outra em relação a y. Assim, nossa integral fica:
integral duplaD e^x+y , dA = integral0^ln(2) integral0^ln(2) e^x+y , dx , dy

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x:
integral0^ln(2) e^x+y , dx
Aqui, e^x+y |0^ln(2) = e^ln(2)+y - e^0+y = 2e^y - e^y = e^y é tratado como uma constante. A integral de em relação a x é , então avaliamos de 0 a :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^ln(2) e^y , dy
A integral de e^y |0^ln(2) = e^ln(2) - e^0 = 2 - 1 = 1 em relação a y é , então avaliamos de 0 a :

Resposta

A integral dupla é igual a 1.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais duplas onde D é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. integral duplaD(x^3 y^2+x) d A, D=(x, y) in R^2 mid-1 <= x <= 1,0 <= y <= 1. (Resp: 0 )
Em cada item abaixo, determine f'(x).
(b) f(x) = 3x - 1.
Mostre que a função
h(x) = { x, x ≥ 3; x²/3, x < 3 }
não é diferenciável em x0 = 3.
Calcule as integrais duplas onde D é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. integral duplaD 6 x^2 y d A, D=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 1,1 <= y <= 2. (Resp: 3 )