Calcule as integrais duplas onde é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. . (Resp: 1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre um retângulo D. A integral que vamos resolver é , onde D é definido por e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que servem para calcular a área sob uma superfície em duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é uma integral dupla. Ela basicamente nos permite somar infinitesimais áreas multiplicadas pelo valor da função em cada ponto dessa área. No nosso caso, a região D é um retângulo com lados de comprimento .
Passo 3
Para calcular a integral dupla, podemos separar as integrais em duas integrais simples, uma em relação a x e outra em relação a y. Assim, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x:
Aqui, é tratado como uma constante. A integral de em relação a x é , então avaliamos de 0 a :
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^ln(2) e^y , dy
A integral de e^y |0^ln(2) = e^ln(2) - e^0 = 2 - 1 = 1 em relação a y é , então avaliamos de 0 a :