Mostre que a função
h(x) = { x, x ≥ 3; x²/3, x < 3 }
não é diferenciável em x0 = 3.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A função dada é uma função por partes:
A matéria envolvida aqui é diferenciabilidade de funções, especificamente em pontos onde a função muda de definição. Precisamos verificar se a função tem derivada em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e os limites das derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Vamos verificar a continuidade de em .

Passo 3

Calculando o limite de quando se aproxima de 3 pela direita ( ):
Agora, o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ):
Como os dois limites são iguais e iguais a , a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas pelas duas laterais em .
Para , a função é . A derivada dessa parte é:
Portanto, o limite da derivada pela direita é 1.

Passo 5

Para , a função é . A derivada dessa parte é:
Então, o limite da derivada pela esquerda em é:

Passo 6

Comparando os limites das derivadas:
  • Derivada pela direita: 1
  • Derivada pela esquerda: 2
Como 1 é diferente de 2, as derivadas laterais não são iguais.

Resposta

Portanto, a função não é diferenciável em .

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