Vamos entender o que a questão está pedindo. A função dada é uma função por partes:
A matéria envolvida aqui é diferenciabilidade de funções, especificamente em pontos onde a função muda de definição. Precisamos verificar se a função tem derivada em .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e os limites das derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Vamos verificar a continuidade de em .
Passo 3
Calculando o limite de quando se aproxima de 3 pela direita ():
Agora, o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ():
Como os dois limites são iguais e iguais a , a função é contínua em .
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas pelas duas laterais em .
Para , a função é . A derivada dessa parte é:
Portanto, o limite da derivada pela direita é 1.
Passo 5
Para , a função é . A derivada dessa parte é:
Então, o limite da derivada pela esquerda em é:
Passo 6
Comparando os limites das derivadas:
Derivada pela direita: 1
Derivada pela esquerda: 2
Como 1 é diferente de 2, as derivadas laterais não são iguais.