Calcule as integrais duplas onde D é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. integral duplaD(x^3 y^2+x) d A, D=(x, y) in R^2 mid-1 <= x <= 1,0 <= y <= 1. (Resp: 0 )

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral dupla que tá definida sobre um retângulo . O retângulo é dado por e . O que a gente precisa aqui é entender como resolver integrais duplas em regiões retangulares usando integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, a gente vai separar a integral dupla em duas integrais simples, uma para integral duplaD (x^3 y^2 + x) , dA = integral0^1 ( integral-1^1 (x^3 y^2 + x) , dx ) dy e outra para . Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . A integral fica assim:

Passo 3

Agora, vamos focar na integral interna, que é integral-1^1 (x^3 y^2 + x) , dx = y^2 integral-1^1 x^3 , dx + integral-1^1 x , dx . A ideia aqui é integrar termo a termo. Então, a gente faz:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral de integral-1^1 x^3 , dx = [ x^44 ]-1^1 = 14 - 14 = 0 :
integral-1^1 x , dx = [ x^22 ]-1^1 = 12 - 12 = 0
Depois, a integral de :

Passo 5

Então, juntando os resultados das integrais internas, temos:
0 cdot y^2 + 0 = 0
Isso significa que a integral interna vale 0 para qualquer valor de no intervalo.

Passo 6

Agora, vamos para a integral externa, que é integral0^1 0 , dy = 0 . Integrar 0 qualquer coisa sempre dá 0:

Resposta

A integral dupla vale 0.

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Em cada item abaixo, determine f'(x).
(b) f(x) = 3x - 1.
Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
© ddot(y) - 4 dot(y) + 6 y = 3 t.
Calcule as integrais duplas onde D é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. integral duplaD e^x+y d A, D=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= ln (2), 0 <= y <= ln (2). (Resp: 1)
Mostre que a função
h(x) = { x, x ≥ 3; x²/3, x < 3 }
não é diferenciável em x0 = 3.