Calcule as integrais duplas onde é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. . (Resp: 0
Passo 1
Beleza, vamos calcular essa integral dupla que tá definida sobre um retângulo . O retângulo é dado por e . O que a gente precisa aqui é entender como resolver integrais duplas em regiões retangulares usando integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, a gente vai separar a integral dupla em duas integrais simples, uma para e outra para . Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . A integral fica assim:
Passo 3
Agora, vamos focar na integral interna, que é . A ideia aqui é integrar termo a termo. Então, a gente faz:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral de :
Depois, a integral de :
Passo 5
Então, juntando os resultados das integrais internas, temos:
Isso significa que a integral interna vale 0 para qualquer valor de no intervalo.
Passo 6
Agora, vamos para a integral externa, que é . Integrar 0 qualquer coisa sempre dá 0: