Calcule as integrais duplas onde
é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo.
. (Resp: 0
Passo 1
Beleza, vamos calcular essa integral dupla que tá definida sobre um retângulo
. O retângulo é dado por
e
. O que a gente precisa aqui é entender como resolver integrais duplas em regiões retangulares usando integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, a gente vai separar a integral dupla em duas integrais simples, uma para
e outra para
. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. A integral fica assim:
Passo 3
Agora, vamos focar na integral interna, que é
. A ideia aqui é integrar termo a termo. Então, a gente faz:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral de
:
Depois, a integral de
:
Passo 5
Então, juntando os resultados das integrais internas, temos:
Isso significa que a integral interna vale 0 para qualquer valor de
no intervalo.
Passo 6
Agora, vamos para a integral externa, que é
. Integrar 0 qualquer coisa sempre dá 0:
Resposta
A integral dupla vale 0.