Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica usada quando o termo não homogêneo (no caso,
) é uma função que já está na nossa tabela de soluções conhecidas, como polinômios, exponenciais, senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos supor uma forma para a solução particular. Como o lado direito da equação é um polinômio de primeiro grau (
), vamos tentar uma solução particular também como um polinômio de primeiro grau:
Aqui,
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a primeira e segunda derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando isso:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Substituindo
:
Resposta
A solução particular da equação
é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral, usando o método de variação dos parâmetros para determinar uma particular de:
(d) .
(d)
Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(d) .
(d)
Em cada item abaixo, determine
.
(b) .
(b)
Calcule as integrais duplas onde
é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo.
. (Resp: 0