Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
© ddot(y) - 4 dot(y) + 6 y = 3 t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica usada quando o termo não homogêneo (no caso, ) é uma função que já está na nossa tabela de soluções conhecidas, como polinômios, exponenciais, senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos supor uma forma para a solução particular. Como o lado direito da equação é um polinômio de primeiro grau ( ), vamos tentar uma solução particular também como um polinômio de primeiro grau:
Aqui, A e B são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a primeira e segunda derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:
Simplificando isso:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para os termos com t:
Para os termos constantes:
Substituindo :

Resposta

A solução particular da equação é:

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