Vamos calcular a integral dupla . Esse problema envolve o conteúdo de integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em um intervalo bidimensional. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a :
Como é tratado como constante em relação a , podemos fatorar para fora da integral:
Agora, calculamos a integral de em relação a :
Avaliando de 0 a 1:
Portanto, a integral interna fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral0^1 x2(x^2 + 1) , dx :
12 integral0^1 xx^2 + 1 , dx
Podemos fatorar a constante para fora da integral:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de substituição. Seja , então , ou seja, .
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
12 times integral 12 cdot duu = 14 integral duu
A integral de 14 ln|u| + C em relação a 14 ln(x^2 + 1) + C é 14 ln(x^2 + 1) |0^1 = 14 ln(2) - 14 ln(1) = 14 ln(2) - 0 = ln 24 , então: