Calcule as integrais duplas a seguir:
integral0^1 integral0^1 x yx^2+1 d y d x

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla . Esse problema envolve o conteúdo de integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em um intervalo bidimensional. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a integral0^1 x yx^2 + 1 , dy :
xx^2 + 1 integral0^1 y , dy
Como integral y , dy = y^22 + C é tratado como constante em relação a y^22 |0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 , podemos fatorar xx^2 + 1 times 12 = x2(x^2 + 1) para fora da integral:
Agora, calculamos a integral de em relação a :
Avaliando de 0 a 1:
Portanto, a integral interna fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral0^1 x2(x^2 + 1) , dx :
12 integral0^1 xx^2 + 1 , dx
Podemos fatorar a constante para fora da integral:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de substituição. Seja , então , ou seja, .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
12 times integral 12 cdot duu = 14 integral duu
A integral de 14 ln|u| + C em relação a 14 ln(x^2 + 1) + C é 14 ln(x^2 + 1) |0^1 = 14 ln(2) - 14 ln(1) = 14 ln(2) - 0 = ln 24 , então:
Voltando à variável original :
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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