Calcule as integrais duplas a seguir:

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla . Esse problema envolve o conteúdo de integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em um intervalo bidimensional. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a :
Como é tratado como constante em relação a , podemos fatorar para fora da integral:
Agora, calculamos a integral de em relação a :
Avaliando de 0 a 1:
Portanto, a integral interna fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a :
Podemos fatorar a constante para fora da integral:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de substituição. Seja , então , ou seja, .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
A integral de em relação a é , então:
Voltando à variável original :
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem .
Se uma curva tem uma equação
encontre o raio de curvatura de no ponto , e faça um esboço da curva e da circunferência de curvatura em .
Encontre o triedro móvel e a curvatura em um ponto qualquer da curva
Considere a função
é contínua em ? Justifique.