Se uma curva tem uma equação
encontre o raio de curvatura de no ponto , e faça um esboço da curva e da circunferência de curvatura em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a curva definida por e precisamos encontrar o raio de curvatura dessa curva no ponto . Além disso, vamos esboçar a curva e a circunferência de curvatura nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o raio de curvatura. Ele nos indica o quão “curvada” está uma curva em um ponto específico. Quanto menor o raio, mais acentuada é a curvatura. A fórmula para calcular o raio de curvatura em um ponto é:

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada da função :
No ponto , temos:

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada :
No ponto :

Passo 5

Vamos substituir esses valores na fórmula do raio de curvatura:

Passo 6

Então, o raio de curvatura da curva no ponto é .

Resposta

O raio de curvatura da curva no ponto é .

Exercícios relacionados

Considere a função
é contínua em ? Justifique.
Nos seguintes exercícios, encontre o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
(d)
Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem .
Calcule as integrais duplas a seguir: