encontre o raio de curvatura de no ponto , e faça um esboço da curva e da circunferência de curvatura em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a curva definida por e precisamos encontrar o raio de curvatura dessa curva no ponto . Além disso, vamos esboçar a curva e a circunferência de curvatura nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas do cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o raio de curvatura. Ele nos indica o quão “curvada” está uma curva em um ponto específico. Quanto menor o raio, mais acentuada é a curvatura. A fórmula para calcular o raio de curvatura em um ponto é:
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada da função :
No ponto , temos:
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada :
No ponto :
Passo 5
Vamos substituir esses valores na fórmula do raio de curvatura: