Encontre o triedro móvel e a curvatura em um ponto qualquer da curva

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o triedro móvel e a curvatura em qualquer ponto da curva definida por . Isso faz parte do estudo de geometria diferencial de curvas. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas da curva para encontrar os vetores tangent, normal e binormal, além da fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da curva , que nos dá o vetor velocidade ou vetor tangente. Vamos derivar cada componente:

Passo 3

Agora, encontramos o vetor unitário tangente . Para isso, normalizamos :
Então,

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada segunda :

Passo 5

Para encontrar o vetor normal , normalizamos a derivada do vetor tangente:
Primeiro, calculamos . Isso envolve derivar cada componente de em relação a .
Após os cálculos, obtém-se .

Passo 6

O vetor binormal é o produto vetorial entre e :
Isso garante que seja perpendicular tanto a quanto a .

Passo 7

Agora, vamos calcular a curvatura . A fórmula da curvatura é:
Primeiro, calculamos o produto vetorial :
Sabendo que , temos:
O módulo desse vetor é:
E já tínhamos , então:

Resposta

O triedro móvel na curva é dado pelos vetores:
E a curvatura em qualquer ponto da curva é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais duplas a seguir:
Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem .
Considere a função
é contínua em ? Justifique.
Determine, por meio de uma integral tripla, o volume do sólido que fica abaixo da superfície e acima da região do plano limitada pelas curvas . Para isso:
(2,0 pontos) Escreva uma integral que fornece o volume desse sólido e calcule-a.