Encontre o triedro móvel e a curvatura em um ponto qualquer da curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o triedro móvel e a curvatura em qualquer ponto da curva definida por . Isso faz parte do estudo de geometria diferencial de curvas. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas da curva para encontrar os vetores tangent, normal e binormal, além da fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da curva , que nos dá o vetor velocidade ou vetor tangente. Vamos derivar cada componente:
Passo 3
Agora, encontramos o vetor unitário tangente. Para isso, normalizamos :
Então,
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada segunda:
Passo 5
Para encontrar o vetor normal, normalizamos a derivada do vetor tangente:
Primeiro, calculamos . Isso envolve derivar cada componente de em relação a .
Após os cálculos, obtém-se .
Passo 6
O vetor binormal é o produto vetorial entre e :
Isso garante que seja perpendicular tanto a quanto a .
Passo 7
Agora, vamos calcular a curvatura. A fórmula da curvatura é: