Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem lim (x, y) (-3,-3) 2 x^4-7 x^2 y^2+5 y^4x^4-y^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de duas variáveis, ou seja, quando se aproximam de . O conteúdo envolvido é de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função conforme nos aproximamos do ponto em questão por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que acontece com o numerador e o denominador quando 2(-3)^4 - 7(-3)^2(-3)^2 + 5(-3)^4 = 2(81) - 7(9)(9) + 5(81) = 162 - 567 + 405 = 0 .
O numerador é (-3)^4 - (-3)^4 = 81 - 81 = 0 . Substituindo para e :
O denominador é . Substituindo para e :
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos analisar mais a fundo para ver se o limite existe ou não.

Passo 3

Uma técnica comum para avaliar limites de funções de duas variáveis é verificar se o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto. Se o valor do limite mudar dependendo do caminho, então o limite não existe.
Vamos tentar diferentes caminhos para . Para simplificar, podemos deslocar o ponto de referência para fazendo a substituição e . Assim, o limite se torna .

Passo 4

Vamos considerar o caminho onde 2x^4 - 7x^2 (kx)^2 + 5(kx)^4x^4 - (kx)^4 = 2x^4 - 7k^2x^4 + 5k^4x^4x^4 - k^4x^4 = (2 - 7k^2 + 5k^4)x^4(1 - k^4)x^4 = 2 - 7k^2 + 5k^41 - k^4 , ou seja, , onde é uma constante que determina a inclinação do caminho.
Substituindo na função original:
Note que o cancela, deixando uma expressão que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos ver como esse limite se comporta para diferentes valores de 2 - 7(1)^2 + 5(1)^41 - (1)^4 = 2 - 7 + 51 - 1 = 00 :
  • Para 2 - 7(0)^2 + 5(0)^41 - (0)^4 = 21 = 2 :
    2 - 7(2)^2 + 5(2)^41 - (2)^4 = 2 - 28 + 801 - 16 = 54-15 = -3.6
    Indeterminado, mas isso sugere que precisamos de outro caminho para confirmar.
  • Para :
  • Para :
Vemos que para diferentes valores de , o limite assume valores diferentes (por exemplo, 2 para e para ). Isso indica que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe porque o valor varia conforme o caminho de aproximação.

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