Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de duas variáveis, ou seja, quando
se aproximam de
. O conteúdo envolvido é de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função conforme nos aproximamos do ponto em questão por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
.
O numerador é
. Substituindo
para
e
:
O denominador é
. Substituindo
para
e
:
Então, temos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos analisar mais a fundo para ver se o limite existe ou não.
Passo 3
Uma técnica comum para avaliar limites de funções de duas variáveis é verificar se o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto. Se o valor do limite mudar dependendo do caminho, então o limite não existe.
Vamos tentar diferentes caminhos para
. Para simplificar, podemos deslocar o ponto de referência para
fazendo a substituição
e
. Assim, o limite se torna
.
Passo 4
Vamos considerar o caminho onde
, ou seja,
, onde
é uma constante que determina a inclinação do caminho.
Substituindo
na função original:
Note que o
cancela, deixando uma expressão que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos ver como esse limite se comporta para diferentes valores de
:
-
Para
: Indeterminado, mas isso sugere que precisamos de outro caminho para confirmar. -
Para
: -
Para
:
Vemos que para diferentes valores de
, o limite assume valores diferentes (por exemplo, 2 para
e
para
). Isso indica que o limite depende do caminho escolhido.
Resposta
O limite não existe porque o valor varia conforme o caminho de aproximação.
Exercícios relacionados
Se uma curva
tem uma equação
encontre o raio de curvatura de
no ponto
, e faça um esboço da curva e da circunferência de curvatura em
.
Considere a função
Calcule as integrais duplas a seguir:
Encontre o triedro móvel e a curvatura em um ponto qualquer da curva