Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de duas variáveis, ou seja, quando se aproximam de . O conteúdo envolvido é de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função conforme nos aproximamos do ponto em questão por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que acontece com o numerador e o denominador quando .
O numerador é . Substituindo para e :
O denominador é . Substituindo para e :
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos analisar mais a fundo para ver se o limite existe ou não.

Passo 3

Uma técnica comum para avaliar limites de funções de duas variáveis é verificar se o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto. Se o valor do limite mudar dependendo do caminho, então o limite não existe.
Vamos tentar diferentes caminhos para . Para simplificar, podemos deslocar o ponto de referência para fazendo a substituição e . Assim, o limite se torna .

Passo 4

Vamos considerar o caminho onde , ou seja, , onde é uma constante que determina a inclinação do caminho.
Substituindo na função original:
Note que o cancela, deixando uma expressão que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos ver como esse limite se comporta para diferentes valores de :
  • Para :
    Indeterminado, mas isso sugere que precisamos de outro caminho para confirmar.
  • Para :
  • Para :
Vemos que para diferentes valores de , o limite assume valores diferentes (por exemplo, 2 para e para ). Isso indica que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe porque o valor varia conforme o caminho de aproximação.

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Se uma curva tem uma equação
encontre o raio de curvatura de no ponto , e faça um esboço da curva e da circunferência de curvatura em .
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é contínua em ? Justifique.
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Encontre o triedro móvel e a curvatura em um ponto qualquer da curva