Calcule as integrais duplas e triplas.
é a região triangular com vértices

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você enviou: , onde a região é um triângulo com vértices em , e . Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, pra calcular isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração, que é o triângulo formado pelos pontos , e . Para isso, precisamos encontrar as equações das retas que formam os lados desse triângulo.

Passo 3

Vamos achar as equações das retas:
  1. Entre e :
    • Inclinação:
    • Equação:
  2. Entre e :
    • Inclinação:
    • Equação:
  3. Entre e :
    • Essa é uma reta horizontal:

Passo 4

Vamos decidir integrar em primeiro ou em primeiro. Observando as equações, fica mais fácil integrar em primeiro, pois para cada fixo, varia entre duas funções.

Passo 5

Determinar os limites de integração:
  • varia de 0 a 4.
  • Para cada :
    • inferior:
    • superior: para e para

Passo 6

Vamos dividir a integral em duas partes devido às mudanças nos limites superiores de :

Passo 7

Resolver a primeira integral:
Simplificando:
Calculando:

Passo 8

Resolver a segunda integral:
Esse cálculo envolve expandir e integrar polinômios, o que resulta em:

Passo 9

Somar as duas partes da integral:

Resposta

O valor da integral dupla sobre a região é igual a 2.

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Na equação algébrica , os valores de k e t são inteiros. Se (1+i) e 2 são raízes dessa equação, então .
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
O polinômio admite pelo menos uma raiz real.
Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções: