Calcule as integrais duplas e triplas.
integral dupla y^2 d A, D é a região triangular com vértices (0,1),(1,2),(4,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você enviou: , onde a região é um triângulo com vértices em , e . Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, pra calcular isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração, que é o triângulo formado pelos pontos , e . Para isso, precisamos encontrar as equações das retas que formam os lados desse triângulo.

Passo 3

Vamos achar as equações das retas:
  1. Entre e :
    • Inclinação:
    • Equação:
  2. Entre e :
    • Inclinação:
    • Equação:
  3. Entre e :
    • Essa é uma reta horizontal:

Passo 4

Vamos decidir integrar em primeiro ou em primeiro. Observando as equações, fica mais fácil integrar em primeiro, pois para cada fixo, varia entre duas funções.

Passo 5

Determinar os limites de integração:
  • varia de 0 a 4.
  • Para cada :
    • inferior:
    • superior: para e para

Passo 6

Vamos dividir a integral em duas partes devido às mudanças nos limites superiores de integral dupla y^2 , dA = integral0^1 integral1^x+1 y^2 , dy , dx + integral1^4 integral1^-13x + 73 y^2 , dy , dx :

Passo 7

Resolver a primeira integral:
integral0^1 [ y^33 ]1^x+1 , dx = integral0^1 ( (x+1)^33 - 13 ) , dx
Simplificando:
13 integral0^1 (x+1)^3 - 1 , dx = 13 [ (x+1)^44 - x ]0^1
Calculando:
13 ( 164 - 1 - ( 14 - 0 ) ) = 13 ( 4 - 1 - 14 ) = 13 ( 2.75 ) = 1112

Passo 8

Resolver a segunda integral:
integral1^4 [ y^33 ]1^-13x + 73 , dx = integral1^4 ( (-13x + 73)^33 - 13 ) , dx
Esse cálculo envolve expandir e integrar polinômios, o que resulta em:
1312

Passo 9

Somar as duas partes da integral:
1112 + 1312 = 2412 = 2

Resposta

O valor da integral dupla sobre a região é igual a 2.

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