Calcule as integrais duplas e triplas.
é a região triangular com vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você enviou:
, onde a região
é um triângulo com vértices em
,
e
. Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, pra calcular isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração, que é o triângulo formado pelos pontos
,
e
. Para isso, precisamos encontrar as equações das retas que formam os lados desse triângulo.
Passo 3
Vamos achar as equações das retas:
-
Entre
e : - Inclinação:
- Equação:
→
- Inclinação:
-
Entre
e : - Inclinação:
- Equação:
→
- Inclinação:
-
Entre
e : - Essa é uma reta horizontal:
- Essa é uma reta horizontal:
Passo 4
Vamos decidir integrar em
primeiro ou em
primeiro. Observando as equações, fica mais fácil integrar em
primeiro, pois para cada
fixo,
varia entre duas funções.
Passo 5
Determinar os limites de integração:
-
varia de 0 a 4. - Para cada
: -
inferior: -
superior: para e para
-
Passo 6
Vamos dividir a integral em duas partes devido às mudanças nos limites superiores de
:
Passo 7
Resolver a primeira integral:
Simplificando:
Calculando:
Passo 8
Resolver a segunda integral:
Esse cálculo envolve expandir e integrar polinômios, o que resulta em:
Passo 9
Somar as duas partes da integral:
Resposta
O valor da integral dupla
sobre a região
é igual a 2.
Exercícios relacionados
Na equação algébrica
, os valores de k e t são inteiros. Se (1+i) e 2 são raízes dessa equação, então
.
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
O polinômio
admite pelo menos uma raiz real.
Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções: