O polinômio
admite pelo menos uma raiz real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o polinômio
tem pelo menos uma raiz real. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então ela deve cruzar o eixo x em algum lugar entre esses pontos. Vamos precisar avaliar o polinômio em alguns valores específicos de
para encontrar essa mudança de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher valores de
onde seja fácil calcular
. Vamos começar com
e
.
Calculando
:
Então,
.
Calculando
:
Então,
.
Até aqui, não vimos mudança de sinal. Vamos tentar
.
Calculando
:
Então,
.
Ainda positivo! Vamos tentar
.
Calculando
:
Ainda positivo. Parece que precisamos de um valor onde
seja negativo. Vamos tentar um valor negativo maior, como
.
Calculando
:
Então,
.
Agora temos
e
. Isso mostra que
muda de negativo para positivo entre
e
.
Resposta
Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, o polinômio
tem pelo menos uma raiz real no intervalo
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais duplas e triplas.
é a região triangular com vértices
Na equação algébrica
, os valores de k e t são inteiros. Se (1+i) e 2 são raízes dessa equação, então
.
Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
Se
, então os polinômios
e
têm as mesmas raízes complexas não reais.