O polinômio P(x) = x^15 - 3x^3 + 3x^2 - x + 1 admite pelo menos uma raiz real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o polinômio tem pelo menos uma raiz real. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então ela deve cruzar o eixo x em algum lugar entre esses pontos. Vamos precisar avaliar o polinômio em alguns valores específicos de para encontrar essa mudança de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher valores de onde seja fácil calcular . Vamos começar com e .
Calculando :
Então, .
Calculando :
Então, .
Até aqui, não vimos mudança de sinal. Vamos tentar .
Calculando :
Então, .
Ainda positivo! Vamos tentar .
Calculando :
Ainda positivo. Parece que precisamos de um valor onde seja negativo. Vamos tentar um valor negativo maior, como .
Calculando :
Então, .
Agora temos e . Isso mostra que muda de negativo para positivo entre e .

Resposta

Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, o polinômio tem pelo menos uma raiz real no intervalo .

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