Na equação algébrica
, os valores de k e t são inteiros. Se (1+i) e 2 são raízes dessa equação, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do terceiro grau:
. Sabemos que
e
são números inteiros e que as raízes dessa equação são
e
. Nosso objetivo é descobrir os valores de
e
e mostrar que
. Para isso, vamos usar o conteúdo de teoria das equações algébricas e o teorema de Vieta.
Passo 2
Primeiro, como a equação tem coeficientes reais e uma raiz é
, o complexo conjuge
também é raiz. Então, as raízes são:
Passo 3
Agora, vamos usar o teorema de Vieta, que relaciona as raízes de uma equação polinomial aos seus coeficientes. Para uma equação de terceiro grau
, temos:
- Soma das raízes:
- Soma dos produtos das raízes tomadas dois a dois:
- Produto das raízes:
Passo 4
Aplicando o teorema de Vieta à nossa equação
:
- Soma das raízes:
- Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar a soma dos produtos das raízes duas a duas:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Então,
Passo 6
Por fim, vamos verificar a soma
:
Portanto,
, como queríamos mostrar.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
Calcule as integrais duplas e triplas.
é a região triangular com vértices
O polinômio
admite pelo menos uma raiz real.