Na equação algébrica , os valores de k e t são inteiros. Se (1+i) e 2 são raízes dessa equação, então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do terceiro grau: . Sabemos que e são números inteiros e que as raízes dessa equação são e . Nosso objetivo é descobrir os valores de e e mostrar que . Para isso, vamos usar o conteúdo de teoria das equações algébricas e o teorema de Vieta.

Passo 2

Primeiro, como a equação tem coeficientes reais e uma raiz é , o complexo conjuge também é raiz. Então, as raízes são:

Passo 3

Agora, vamos usar o teorema de Vieta, que relaciona as raízes de uma equação polinomial aos seus coeficientes. Para uma equação de terceiro grau , temos:
  • Soma das raízes:
  • Soma dos produtos das raízes tomadas dois a dois:
  • Produto das raízes:

Passo 4

Aplicando o teorema de Vieta à nossa equação :
  • Soma das raízes:
  • Então,

Passo 5

Agora, vamos encontrar a soma dos produtos das raízes duas a duas:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Então,

Passo 6

Por fim, vamos verificar a soma :
Portanto, , como queríamos mostrar.

Resposta

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