Calcule as integrais duplas e triplas.
integral tripla 2 x d V, onde E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 2,0 <= x <= raiz4-y^2, 0 <= z <= y

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla integral tripla 2x , dV sobre a região E, que é definida por:
0 <= y <= 2, 0 <= x <= raiz4 - y^2, 0 <= z <= y
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que envolvem funções de três variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e como calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região E onde vamos integrar. A região está definida por:
  • y varia de 0 a 2.
  • Para cada valor de y, x varia de 0 a raiz4 - y^2.
  • Para cada par (x, y), z varia de 0 a y.
Isso sugere que a integral tripla pode ser escrita como uma iterada, integrando primeiro em z, depois em x, e por último em y.

Passo 3

Vamos começar calculando a integral em relação a z. A função que estamos integrando é 2x, e os limites para z são de 0 a y. Como 2x não depende de z, a integral fica:
integral0^y 2x , dz = 2x cdot (y - 0) = 2x y

Passo 4

Agora, precisamos integrar o resultado em relação a x. Os limites para x são de 0 a raiz4 - y^2. Então, a integral fica:
integral0^raiz4 - y^2 2x y , dx = 2y integral0^raiz4 - y^2 x , dx
A integral de x em relação a x é 12x^2, então:
2y [ 12x^2 ]0^raiz4 - y^2 = 2y ( 12(4 - y^2) ) = 2y cdot 4 - y^22 = y(4 - y^2)

Passo 5

Finalmente, precisamos integrar o resultado em relação a y, com limites de 0 a 2:
integral0^2 y(4 - y^2) , dy
Vamos distribuir y:
integral0^2 4y - y^3 , dy
Agora, integramos termo a termo:
[2y^2 - 14y^4 ]0^2
Calculando nos limites:
2(2)^2 - 14(2)^4 - (0 - 0) = 2 cdot 4 - 14 cdot 16 = 8 - 4 = 4

Resposta

O valor da integral tripla integral tripla 2x , dV sobre a região E é 4.

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