Calcule as integrais duplas e triplas.
, onde

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla sobre a região , que é definida por:
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que envolvem funções de três variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e como calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. A região está definida por:
  • varia de a .
  • Para cada valor de , varia de a .
  • Para cada par , varia de a .
Isso sugere que a integral tripla pode ser escrita como uma iterada, integrando primeiro em , depois em , e por último em .

Passo 3

Vamos começar calculando a integral em relação a . A função que estamos integrando é , e os limites para são de a . Como não depende de , a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos integrar o resultado em relação a . Os limites para são de a . Então, a integral fica:
A integral de em relação a é , então:

Passo 5

Finalmente, precisamos integrar o resultado em relação a , com limites de a :
Vamos distribuir :
Agora, integramos termo a termo:
Calculando nos limites:

Resposta

O valor da integral tripla sobre a região é .

Exercícios relacionados

Se duas das raízes da equação são -3 e -4, então o produto entre as outras duas raízes é 4.
Se o polinômio tem as mesmas raízes que , então para todo número real .
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Considere a equação , em que é uma constante real. Se e são as raízes dessa equação, então é um número divisível por 2.