Calcule as integrais duplas e triplas.
, onde
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla
sobre a região
, que é definida por:
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que envolvem funções de três variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e como calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
onde vamos integrar. A região está definida por:
-
varia de a . - Para cada valor de
, varia de a . - Para cada par
, varia de a .
Isso sugere que a integral tripla pode ser escrita como uma iterada, integrando primeiro em
, depois em
, e por último em
.
Passo 3
Vamos começar calculando a integral em relação a
. A função que estamos integrando é
, e os limites para
são de
a
. Como
não depende de
, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos integrar o resultado em relação a
. Os limites para
são de
a
. Então, a integral fica:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 5
Finalmente, precisamos integrar o resultado em relação a
, com limites de
a
:
Vamos distribuir
:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando nos limites:
Resposta
O valor da integral tripla
sobre a região
é
.
Exercícios relacionados
Se duas das raízes da equação
são -3 e -4, então o produto entre as outras duas raízes é 4.
Se o polinômio
tem as mesmas raízes que
, então
para todo número real
.
Se
é o resto da divisão de
por
, então
.
Considere a equação
, em que
é uma constante real. Se
e
são as raízes dessa equação, então
é um número divisível por 2.