Considere a equação x^3 - 4x^2 + mx + 30 = 0, em que m é uma constante real. Se r1 = 2, r2 e r3 são as raízes dessa equação, então r1 + r2 + r3 é um número divisível por 2.

Passo 1

Então, temos uma equação cúbica , onde é uma constante real. Sabemos que uma das raízes dessa equação é , e as outras duas raízes são e . A questão nos pede para mostrar que a soma das raízes é um número divisível por 2. Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações polinomiais, especificamente as fórmulas de Vieta, que relacionam os coeficientes da equação com as raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de Vieta para uma equação cúbica geral . As fórmulas dizem que:
  1. A soma das raízes é .
  2. A soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas é .
  3. O produto das raízes é .
No nosso caso, a equação é . Comparando com a forma geral, temos:

Passo 3

Vamos aplicar a primeira fórmula de Vieta para encontrar a soma das raízes:
Substituindo o valor de :

Passo 4

A questão afirma que é divisível por 2. Calculamos que essa soma é igual a 4. Agora, vamos verificar se 4 é divisível por 2:
Como o resultado é um número inteiro, 4 é de fato divisível por 2.

Resposta

A soma das raízes é igual a 4, que é um número divisível por 2.

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