Se R(x) é o resto da divisão de A(x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 - x + 4 por B(x) = x^3 - 2*x^2 + 1, então R(1/2) = 7/2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão é sobre divisão de polinômios. Temos que dividir o polinômio pelo polinômio . O que queremos é encontrar o resto dessa divisão, que chamaremos de , e depois calcular . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a divisão de polinômios e aplicar esse conhecimento para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando dividimos um polinômio por outro polinômio , obtemos um quociente e um resto , de forma que:
O grau de deve ser menor que o grau de . No nosso caso, é de grau 3, então deve ter grau no máximo 2.

Passo 3

Vamos realizar a divisão de por . Começamos dividindo o termo de maior grau de pelo termo de maior grau de :
Esse será o primeiro termo do nosso quociente .

Passo 4

Agora, multiplicamos esse termo por e subtraímos o resultado de :
Subtraindo isso de :
Agora, o novo polinômio a ser dividido é .

Passo 5

Como o grau de é menor que o grau de , não há mais divisão a ser feita. Portanto, esse polinômio é o nosso resto :

Passo 6

Agora que temos , vamos calcular . Basta substituir por na expressão de :

Passo 7

Vamos calcular cada termo separadamente:
Agora, somamos todos os termos:

Resposta

Portanto, .

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