Se duas das raízes da equação 2 x^4 + 5 x^3 - 35 x^2 - 80 x + 48 = 0 são -3 e -4, então o produto entre as outras duas raízes é 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de quarto grau:
Sabemos que duas das raízes dessa equação são -3 e -4. Nosso objetivo é encontrar o produto das outras duas raízes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra relacionados a polinômios e suas raízes.

Passo 2

Primeiro, como sabemos que -3 e -4 são raízes da equação, isso significa que e são fatores do polinômio. Vamos multiplicar esses fatores para simplificar a equação.

Passo 3

Agora, vamos dividir o polinômio original pelo resultado que obtivemos para encontrar os outros fatores. Ou seja, vamos dividir por .
Divisão Polinomial:
Realizando a divisão, obtemos:

Passo 4

Agora que temos como o outro fator, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática. As raízes de uma equação quadrática podem ser encontradas pela fórmula de Bhaskara:
Aplicando os valores:

Passo 5

As outras duas raízes são, portanto, 4 e 0.5. O produto dessas raízes é:

Resposta

O produto entre as outras duas raízes é 2.

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