Calcule as integrais duplas usando coordenadas polares.
(g) integral duplaR y d x d y onde R é a regiào no primeiro quadrante limitada pelo semi-círculo x^2+y^2=2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla usando coordenadas polares. A integral que temos é:
integral duplaR y , dx , dy
onde é a região no primeiro quadrante limitada pelo semicírculo . Vamos precisar entender como converter essa integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região x^2 - 2x + y^2 = 0 (x - 1)^2 + y^2 = 1 . A equação descreve um círculo. Podemos rearranjar essa equação para identificar o centro e o raio:
Isso mostra que o círculo tem centro em e raio 1. Como estamos no primeiro quadrante ( , ), a região é a parte desse círculo que está nessa área.

Passo 3

Agora, vamos converter a integral para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r costheta y = r sintheta dx , dy = r , dr , dtheta
Substituindo integral duplaR y , dx , dy = integral duplaR r sintheta cdot r , dr , dtheta = integral duplaR r^2 sintheta , dr , dtheta por na integral, temos:

Passo 4

Precisamos agora determinar os limites de integração para e .
  • Para : Como estamos no primeiro quadrante, varia de a .
  • Para : A fronteira da região é dada por , que em coordenadas polares fica . Resolvendo para , temos .
Então, varia de a .

Passo 5

Agora, montamos a integral com os limites determinados:
integral duplaR r^2 sintheta , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^2costheta r^2 sintheta , dr , dtheta
Vamos primeiro integrar em relação a integral0^2costheta r^2 , dr = [ r^33 ]0^2costheta = (2costheta)^33 = 8cos^3theta3 :

Passo 6

Substituímos o resultado da integração em 83 integral0^pi2 cos^3theta sintheta , dtheta na integral de 83 integral1^0 u^3 (-du) = 83 integral0^1 u^3 , du = 83 [ u^44 ]0^1 = 83 cdot 14 = 23 :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe , então . Ajustando os limites:
  • Quando , .
  • Quando , .
A integral fica:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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