Calcule as integrais duplas usando coordenadas polares.
(g)
onde
é a regiào no primeiro quadrante limitada pelo semi-círculo
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla usando coordenadas polares. A integral que temos é:
onde
é a região no primeiro quadrante limitada pelo semicírculo
. Vamos precisar entender como converter essa integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
descreve um círculo. Podemos rearranjar essa equação para identificar o centro e o raio:
Isso mostra que o círculo tem centro em
e raio 1. Como estamos no primeiro quadrante (
,
), a região
é a parte desse círculo que está nessa área.
Passo 3
Agora, vamos converter a integral para coordenadas polares. Lembrando que:
Substituindo
por
na integral, temos:
Passo 4
Precisamos agora determinar os limites de integração para
e
.
-
Para
: Como estamos no primeiro quadrante, varia de a . -
Para
: A fronteira da região é dada por , que em coordenadas polares fica . Resolvendo para , temos .
Então,
varia de
a
.
Passo 5
Agora, montamos a integral com os limites determinados:
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Passo 6
Substituímos o resultado da integração em
na integral de
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
. Ajustando os limites:
- Quando
, . - Quando
, .
A integral fica:
Resposta
A integral dupla é igual a
.