Calcule as integrais, efetuando as mudanças de variáveis apropriadas.
integral duplaR x-2 y3 x-y d A, onde R é o paralelogramo limitado pelas retas
x-2 y=0, x-2 y=4,3 x-y=1 e 3 x-y=8
integral duplaR(x+y) e^x^2-y^2 d A, onde R é o retângulo limitado pelas retas
x-y=0, x-y=2, x+y=0 e x+y=3
integral duplaR cos (y-xy+x) d A, onde R á a região trapezoidal com vértices
(1,0),(2,0),(0,2) e (0,1)
integral duplaR sen(9 x^2+4 y^2) d A, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse 9 x^2+4 y^2=1
integral duplaR e^x+y d A, onde R é dada pela inequação |x|+|y| <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a primeira integral dupla:
integral duplaR x - 2y3x - y , dA
Aqui, a região é um paralelogramo limitado pelas retas , , e . Vamos precisar usar mudança de variáveis para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir:
u = x - 2y e v = 3x - y
Isso vai transformar as equações das retas em , , e , o que simplifica os limites da integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o Jacobiano dessa transformação. Calculando as derivadas parciais:
[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =
partial(u, v)partial(x, y) = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y = 1 & -2 3 & -1 = (1)(-1) - (-2)(3) = -1 + 6 = 5


= (1)(-1) - (-2)(3) = -1 + 6 = 5
]
Então, o Jacobiano é .

Passo 4

Expressamos a integral original em termos de integral duplaR x - 2y3x - y , dA = integral duplaR' uv cdot 15 , du , dv e :
Aqui, é a região retangular com e .

Passo 5

Agora, vamos integrar em 15 integral1^8 integral0^4 uv , du , dv e 15 integral1^8 [ u^22v ]0^4 , dv = 15 integral1^8 162v , dv = 85 integral1^8 1v , dv :
Primeiro, integramos em :

Passo 6

A integral de 85 [ ln |v| ]1^8 = 85 (ln 8 - ln 1) = 85 ln 8 em é:
Sabemos que , então simplifica para .

Passo 7

Vamos para a segunda integral:
integral duplaR (x + y) e^x^2 - y^2 , dA
A região é um retângulo limitado pelas retas , , e . Usaremos mudança de variáveis para facilitar.

Passo 8

Definimos as novas variáveis:
u = x - y e v = x + y
Assim, as equações limitantes ficam e , formando um retângulo.

Passo 9

Calculamos o Jacobiano:
partial(u, v)partial(x, y) = 1 & -1 1 & 1 = (1)(1) - (-1)(1) = 2
Então, .

Passo 10

Expressamos x = u + v2 e y = v - u2 e (x + y) e^x^2 - y^2 = v cdot e^(u+v2)^2 - (v - u2)^2 = v cdot e^uv em termos de e :
Substituindo na integrand:

Passo 11

A integral transformada fica:
integral duplaR v e^uv cdot 12 , du , dv
Ou seja:
12 integral0^3 integral0^2 v e^uv , du , dv

Passo 12

Integramos primeiro em 12 integral0^3 [ e^uvv ]0^2 v , dv = 12 integral0^3 (e^2v - 1) , dv = 12 [ e^2v2 - v ]0^3 :
12 ( e^62 - 3 - 12 + 0 ) = 12 ( e^62 - 72 ) = e^6 - 74
Calculando:

Passo 13

Agora, vamos resolver a terceira integral:
integral duplaR cos(y - xy + x) , dA
A região é trapezoidal com vértices em , , e . Vamos utilizar mudança de variáveis para simplificar a expressão dentro do cosseno.

Passo 14

Definimos:
u = y - x e v = y + x
Com isso, a expressão dentro do cosseno fica , o que facilita a integração.

Passo 15

Calculamos o Jacobiano:
partial(u, v)partial(x, y) = -1 & 1 1 & 1 = (-1)(1) - (1)(1) = -2
O valor absoluto do Jacobiano é .

Passo 16

Expressamos x = v - u2 e y = u + v2 e em termos de e :
Os limites para e serão definidos a partir dos vértices da região original.

Passo 17

Identificamos os novos limites:
  • De a e implica a .
  • De a e implica variando de a .

Passo 18

A integral transformada fica:
integral duplaR' cos(uv) cdot 12 , du , dv
Ou seja:
12 integral1^3 integral-2^-1 cos(uv) , du , dv
Integrando em 12 integral1^3 [ v sin(uv) ]-2^-1 , dv = 12 integral1^3 ( v sin(-1v) - v sin(-2v) ) , dv :
12 integral1^3 ( -v sin(1v) + v sin(2v) ) , dv
Simplificando:
Essa integral pode ser resolvida utilizando métodos numéricos ou integrais definidas avançadas.

Passo 19

Vamos para a quarta integral:
integral duplaR sin(9x^2 + 4y^2) , dA
A região é parte do primeiro quadrante limitada pela elipse . Vamos usar coordenadas elípticas para facilitar.

Passo 20

Fazemos a mudança de variável para transformar a elipse em um círculo. Definimos:
u = 3x e v = 2y
Assim, a elipse se torna , um círculo unitário.

Passo 21

Calculamos o Jacobiano:
partial(u, v)partial(x, y) = 3 & 0 0 & 2 = 3 times 2 = 6
Então, .

Passo 22

Expressamos a integral em termos de integral duplaR sin(u^2 + v^2) cdot 16 , du , dv e :
A região agora é o quarto quadrante do círculo unitário: , , .

Passo 23

Convertendo para coordenadas polares:
u = r cos theta e v = r sin theta
Os limites se tornam e .

Passo 24

A integral em coordenadas polares fica:
16 integral0^pi2 integral0^1 sin(r^2) cdot r , dr , dtheta
Primeiro, integramos em 16 integral0^pi2 [ -12 cos(r^2) ]0^1 , dtheta = 16 integral0^pi2 ( -12 cos(1) + 12 ) , dtheta :
16 cdot pi2 ( 1 - cos(1) ) = pi12 (1 - cos(1))
Simplificando:

Passo 25

Por último, vamos resolver a quinta integral:
integral duplaR e^x + y , dA
A região é definida pela inequação , que é um losango centrado na origem. Vamos usar coordenadas apropriadas para essa região.

Passo 26

Observamos que define um losango com vértices em , , e . Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar.

Passo 27

Definimos:
u = x + y e v = x - y
Com isso, a inequação fica e , formando um quadrado.

Passo 28

Calculamos o Jacobiano:
partial(u, v)partial(x, y) = 1 & 1 1 & -1 = (1)(-1) - (1)(1) = -2
Então, .

Passo 29

Expressamos a integral em termos de integral duplaR e^u cdot 12 , du , dv e :
Os limites são e .

Passo 30

Integramos em 12 integral-1^1 integral-1^1 e^u , du , dv = 12 integral-1^1 [ e^u ]-1^1 , dv = 12 integral-1^1 (e^1 - e^-1) , dv e 12 (e - e^-1) cdot (1 - (-1)) = 12 (e - e^-1) cdot 2 = e - 1e :
Simplificando:

Resposta

A integral vale .

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