Calcule as integrais, efetuando as mudanças de variáveis apropriadas. , onde é o paralelogramo limitado pelas retas e , onde é o retângulo limitado pelas retas e , onde á a região trapezoidal com vértices e , onde é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse , onde é dada pela inequação
Passo 1
Beleza, vamos resolver a primeira integral dupla:
Aqui, a região é um paralelogramo limitado pelas retas , , e . Vamos precisar usar mudança de variáveis para simplificar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir:
Isso vai transformar as equações das retas em , , e , o que simplifica os limites da integração.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o Jacobiano dessa transformação. Calculando as derivadas parciais:
[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =
= (1)(-1) - (-2)(3) = -1 + 6 = 5
]
Então, o Jacobiano é .
Passo 4
Expressamos a integral original em termos de integral duplaR x - 2y3x - y , dA = integral duplaR' uv cdot 15 , du , dv e :
Aqui, é a região retangular com e .
Passo 5
Agora, vamos integrar em 15 integral1^8 integral0^4 uv , du , dv e 15 integral1^8 [ u^22v ]0^4 , dv = 15 integral1^8 162v , dv = 85 integral1^8 1v , dv :
Primeiro, integramos em :
Passo 6
A integral de 85 [ ln |v| ]1^8 = 85 (ln 8 - ln 1) = 85 ln 8 em é:
Sabemos que , então simplifica para .
Passo 7
Vamos para a segunda integral:
integral duplaR (x + y) e^x^2 - y^2 , dA
A região é um retângulo limitado pelas retas , , e . Usaremos mudança de variáveis para facilitar.
Passo 8
Definimos as novas variáveis:
u = x - y e v = x + y
Assim, as equações limitantes ficam e , formando um retângulo.
Expressamos a integral em termos de integral duplaR e^u cdot 12 , du , dv e :
Os limites são e .
Passo 30
Integramos em 12 integral-1^1 integral-1^1 e^u , du , dv = 12 integral-1^1 [ e^u ]-1^1 , dv = 12 integral-1^1 (e^1 - e^-1) , dv e 12 (e - e^-1) cdot (1 - (-1)) = 12 (e - e^-1) cdot 2 = e - 1e :