Resolva as seguintes desigualdades: d) |x-2| <= |x+4|

Passo 1

Vamos resolver a desigualdade . Esse exercício envolve o conteúdo de valor absoluto e desigualdades. Para resolver, vamos comparar as expressões dentro dos valores absolutos e analisar os intervalos onde a desigualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O valor absoluto de uma expressão representa a distância desse número até zero na reta numérica. Então, esta desigualdade está dizendo que a distância de até 2 é menor ou igual à distância de até -4.

Passo 3

Para resolver a desigualdade , podemos considerar os diferentes casos onde cada expressão dentro do valor absoluto muda de sinal. As expressões e mudam de sinal em e respectivamente. Vamos dividir a reta numérica em intervalos baseados nesses pontos: , e .

Passo 4

Caso 1:
  • Aqui, e .
  • Portanto, e .
  • A desigualdade fica: .
  • Simplificando: , o que não é verdadeiro.
  • Não há soluções neste intervalo.

Passo 5

Caso 2:
  • Aqui, e .
  • Portanto, e .
  • A desigualdade fica: .
  • Somando aos dois lados: .
  • Subtraindo 4 dos dois lados: .
  • Dividindo por 2: .
  • Como estamos no intervalo , a solução aqui é .

Passo 6

Caso 3:
  • Aqui, e .
  • Portanto, e .
  • A desigualdade fica: .
  • Subtraindo dos dois lados: , que é sempre verdadeiro.
  • Todas as soluções neste intervalo são válidas, então .

Resposta

A solução da desigualdade é ou , ou seja, .

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