Resolva as seguintes desigualdades: d)
Passo 1
Vamos resolver a desigualdade
. Esse exercício envolve o conteúdo de valor absoluto e desigualdades. Para resolver, vamos comparar as expressões dentro dos valores absolutos e analisar os intervalos onde a desigualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O valor absoluto de uma expressão representa a distância desse número até zero na reta numérica. Então, esta desigualdade está dizendo que a distância de
até 2 é menor ou igual à distância de
até -4.
Passo 3
Para resolver a desigualdade
, podemos considerar os diferentes casos onde cada expressão dentro do valor absoluto muda de sinal. As expressões
e
mudam de sinal em
e
respectivamente. Vamos dividir a reta numérica em intervalos baseados nesses pontos:
,
e
.
Passo 4
Caso 1:
- Aqui,
e . - Portanto,
e . - A desigualdade fica:
. - Simplificando:
, o que não é verdadeiro. - Não há soluções neste intervalo.
Passo 5
Caso 2:
- Aqui,
e . - Portanto,
e . - A desigualdade fica:
. - Somando
aos dois lados: . - Subtraindo 4 dos dois lados:
. - Dividindo por 2:
. - Como estamos no intervalo
, a solução aqui é .
Passo 6
Caso 3:
- Aqui,
e . - Portanto,
e . - A desigualdade fica:
. - Subtraindo
dos dois lados: , que é sempre verdadeiro. - Todas as soluções neste intervalo são válidas, então
.
Resposta
A solução da desigualdade é
ou
, ou seja,
.