Calcule as integrais nos exercícios 1-14. integral-pi / 2^pi / 2(8 y^2+sen y) d y

Passo 1

Oi! Vamos resolver a integral definida . Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com integrais definidas. Para resolver isso, precisamos saber como integrar polinômios e funções trigonométricas, além de aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes, já que a soma de funções pode ser integrada separadamente. Então teremos:
integral- pi2^pi2 8 y^2 dy + integral- pi2^pi2 sin y , dy

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral y^n dy = y^n+1n+1 + C . Para integrar integral 8 y^2 dy = 8 cdot y^33 = 8 y^33 , usamos a regra do polinômio:
8 y^33 |- pi2^pi2 = 8 ( (pi2)^3 - (-pi2)^3 )3
Aplicando isso:
83 ( pi^38 - (-pi^38) ) = 83 cdot 2 pi^38 = 2 pi^33
Agora, avaliamos nos limites de e :
Perceba que , então:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral sin y , dy = -cos y . A integral de -cos y |- pi2^pi2 = -cos (pi2) + cos (-pi2) é 0 + 0 = 0 . Então:
Avaliando nos limites:
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral é igual a .

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