integral1^raiz2(u^22-1u^5) d u

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente da integração de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada termo da função separadamente e depois calcular o valor dessa integral no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral1^raiz2 u^22 du - integral1^raiz2 1u^5 du
Isso nos permite tratar cada termo individualmente.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral u^22 du = 12 cdot u^33 = u^36 . Sabemos que integrar resulta em , então aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral u^-5 du = u^-4-4 = -14u^4 . Podemos reescrever u^36 - 14u^4 como . Integrando:
Portanto, a integral completa fica:

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 a (raiz2)^36 - 14(raiz2)^4 = 2raiz26 - 14 cdot 4 = raiz23 - 116 . Primeiro, calculamos na parte superior ( 1^36 - 14 cdot 1^4 = 16 - 14 = 212 - 312 = -112 ):
Em seguida, calculamos na parte inferior ( ):

Passo 6

Agora, subtraímos o valor inferior do valor superior:
( raiz23 - 116 ) - ( -112 ) = raiz23 - 116 + 112
Vamos encontrar um denominador comum para simplificar:
raiz23 = 16raiz248, 116 = 348, 112 = 448
Então:
16raiz248 - 348 + 448 = 16raiz2 - 3 + 448 = 16raiz2 + 148

Resposta

O valor da integral é , aproximadamente igual a .

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