Calcule as integrais nos exercícios 1-14. integral0^pi / 2 1+cos 2 t2 d t

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Esse problema envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente o manejo de funções trigonométricas dentro das integrais. Para resolver, vamos precisar aplicar regras básicas de integração e usar identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos reescrever 12 + cos 2t2 como:
Isso nos permite separar a integral em duas partes mais fáceis de resolver.

Passo 3

Agora, separamos a integral original em duas integrais distintas:
integral0^pi2 12 , dt + integral0^pi2 cos 2t2 , dt
Isso facilita o processo de integração, pois lidamos com termos separados.

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
integral 12 , dt = 12t + C
Agora, avaliamos essa antiderivada no intervalo de 12 cdot pi2 - 12 cdot 0 = pi4 a :

Passo 5

Agora, calculamos a segunda integral:
integral cos 2t2 , dt = 12 cdot sin 2t2 + C = sin 2t4 + C
Avaliando no intervalo de sin(pi)4 - sin(0)4 = 0 - 0 = 0 a :

Resposta

A integral vale .

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