Calcule as integrais nos exercícios 1-14.

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Esse problema envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente o manejo de funções trigonométricas dentro das integrais. Para resolver, vamos precisar aplicar regras básicas de integração e usar identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos reescrever como:
Isso nos permite separar a integral em duas partes mais fáceis de resolver.

Passo 3

Agora, separamos a integral original em duas integrais distintas:
Isso facilita o processo de integração, pois lidamos com termos separados.

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
Agora, avaliamos essa antiderivada no intervalo de a :

Passo 5

Agora, calculamos a segunda integral:
Avaliando no intervalo de a :

Resposta

A integral vale .

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Determine o vetor gradiente da função em e a derivada direcional em na direção do vetor :
Seja ;
Calcule