integral4^9 1-raizuraizu d u

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de 4 a 9 da função 1-raizuraizu em relação a u. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente trabalhando com integrais de funções racionais que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão dentro da integral e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 1 - raizuraizu. Podemos separar essa fração em duas partes:
1raizu - raizuraizu
Isso simplifica para:
1raizu - 1
Então, a integral fica:
integral4^9 ( 1raizu - 1 ) du

Passo 3

Agora, vamos lembrar que integrar uma soma é o mesmo que integrar cada termo separadamente. Além disso, sabemos que:
integral u^n du = u^n+1n+1 + C
para qualquer exponente n neq -1.
Aplicando isso aos nossos termos:
  1. Para 1raizu, que é u^-1/2:
    integral u^-1/2 du = u^(-1/2)+1(-1/2)+1 = u^1/21/2 = 2raizu
  2. Para -1:
    integral -1 du = -u

Passo 4

Agora, juntando os resultados das integrais, temos:
integral4^9 ( 1raizu - 1 ) du = [ 2raizu - u ]4^9

Passo 5

Vamos calcular essa expressão nos limites de integração, substituindo primeiro u = 9 e depois u = 4:
Para u = 9:
2raiz9 - 9 = 2 times 3 - 9 = 6 - 9 = -3
Para u = 4:
2raiz4 - 4 = 2 times 2 - 4 = 4 - 4 = 0

Passo 6

Agora, subtraímos o valor em u = 4 do valor em u = 9:
-3 - 0 = -3

Resposta

A integral integral4^9 1-raizuraizu du é igual a -3.

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