Determine o vetor gradiente da função em e a derivada direcional em na direção do vetor :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o vetor gradiente da função no ponto e a derivada direcional nesse mesmo ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a , e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo as outras constantes.
A função é:
Vamos calcular cada derivada:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto . Isso significa substituir , e nas expressões das derivadas.
  • Avaliação de em :
  • Avaliação de em :
  • Avaliação de em :

Passo 4

Com as derivadas parciais avaliadas, podemos formar o vetor gradiente no ponto . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são exatamente as derivadas parciais.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada direcional de em na direção do vetor . A derivada direcional nos mostra a taxa de variação da função na direção especificada.
Primeiro, é importante normalizar o vetor para que ele tenha comprimento 1. Isso é feito dividindo cada componente pelo módulo do vetor.
O vetor , então o módulo é:
O vetor unitário na direção de é:
Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

O vetor gradiente da função em é e a derivada direcional na direção do vetor é igual a 2.

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