Seja ;
Calcule

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos calcular a integral de linha desse campo do ponto até . Isso envolve o conceito de campos conservativos e função potencial na matéria de cálculo vetorial. Vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar a função potencial para facilitar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se satisfizer a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando as derivadas:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Como é conservativo, existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar .

Passo 5

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Onde é uma constante de integração.

Passo 7

Portanto, a função potencial é:

Passo 8

Para calcular a integral de linha, usamos a diferença da função potencial nos pontos finais:
Vamos calcular cada termo.

Passo 9

Calculando :
Calculando :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Determine o vetor gradiente da função em e a derivada direcional em na direção do vetor :
Calcule as integrais nos exercícios 1-14.
Classifique a integral .
(ENADE) Considerando a função definida por , é correto afirmar que a função é integrável em todo intervalo ?