Seja F(x, y)=(2 x+y^3) i+(3 x y^2+4) j;
Calcule integral(0,1)^(2,3) F d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos calcular a integral de linha desse campo do ponto até . Isso envolve o conceito de campos conservativos e função potencial na matéria de cálculo vetorial. Vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar a função potencial para facilitar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial partial Ppartial y = partial Qpartial x é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se satisfizer a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando as derivadas:
P = 2x + y^3 Q = 3xy^2 + 4
partial Ppartial y = 3y^2 partial Qpartial x = 3y^2
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Como partial phipartial x = P = 2x + y^3 partial phipartial y = Q = 3xy^2 + 4 é conservativo, existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar .

Passo 5

Integrando phi(x, y) = integral (2x + y^3) , dx = x^2 + x y^3 + g(y) em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Agora, derivamos partial phipartial y = 3x y^2 + g'(y) = 3x y^2 + 4 em relação a g'(y) = 4 g(y) = 4y + C e igualamos a :
Isso nos dá:
Onde é uma constante de integração.

Passo 7

Portanto, a função potencial é:
phi(x, y) = x^2 + x y^3 + 4y + C

Passo 8

Para calcular a integral de linha, usamos a diferença da função potencial nos pontos finais:
integral(0,1)^(2,3) F cdot dx = phi(2, 3) - phi(0, 1)
Vamos calcular cada termo.

Passo 9

Calculando phi(2, 3) = (2)^2 + 2 cdot (3)^3 + 4 cdot 3 = 4 + 54 + 12 = 70 :
phi(0, 1) = (0)^2 + 0 cdot (1)^3 + 4 cdot 1 = 0 + 0 + 4 = 4
Calculando :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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