Seja
;
Calcule
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
e precisamos calcular a integral de linha desse campo do ponto
até
. Isso envolve o conceito de campos conservativos e função potencial na matéria de cálculo vetorial. Vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar a função potencial para facilitar o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se satisfizer a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 7
Portanto, a função potencial é:
Passo 8
Para calcular a integral de linha, usamos a diferença da função potencial nos pontos finais:
Vamos calcular cada termo.
Passo 9
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine o vetor gradiente da função em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
:
Calcule as integrais nos exercícios 1-14.
Classifique a integral
.
(ENADE) Considerando a função
definida por
, é correto afirmar que a função
é integrável em todo intervalo
?