O ponto
é um ponto crítico de cada funções seguintes. Que tipo de ponto crítico é?
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para identificar que tipo de ponto crítico é o ponto
para a função . Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar o ponto crítico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto
é crítico se as derivadas parciais da função em relação a
e
nesse ponto forem iguais a zero, ou não existirem. No caso, já nos disseram que
é um ponto crítico, então vamos direto para classificar esse ponto.
Passo 3
Para classificar o ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Esse teste envolve calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função e usar essas informações para determinar se o ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
:
Como
é ponto crítico, sabemos que
e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 6
Com as derivadas de segunda ordem calculadas, aplicamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos o discriminante
:
Substituindo os valores no ponto
:
Passo 7
Interpretamos o valor de
:
- Se
e , é um mínimo local. - Se
e , é um máximo local. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, o que nos indica que o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O ponto
é um ponto de sela para a função .