O ponto (0,0) é um ponto crítico de cada funções seguintes. Que tipo de ponto crítico é?
© h(x, y) = sen(x) sen(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para identificar que tipo de ponto crítico é o ponto (0,0) para a função . Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar o ponto crítico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto (a, b) é crítico se as derivadas parciais da função em relação a x e y nesse ponto forem iguais a zero, ou não existirem. No caso, já nos disseram que (0,0) é um ponto crítico, então vamos direto para classificar esse ponto.

Passo 3

Para classificar o ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Esse teste envolve calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função e usar essas informações para determinar se o ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função h(x, y):
Como é ponto crítico, sabemos que e (0,0).

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 6

Com as derivadas de segunda ordem calculadas, aplicamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos o discriminante D:
Substituindo os valores no ponto (0,0):

Passo 7

Interpretamos o valor de D:
  • Se e , é um mínimo local.
  • Se e , é um máximo local.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , o que nos indica que o ponto (0,0) é um ponto de sela.

Resposta

O ponto (0,0) é um ponto de sela para a função .

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