Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=2^+infty (-1)^n n^3n^4+3.

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos decidir se a série sumn=2^+infty (-1)^n n^3n^4+3 converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a série é alternada devido ao termo (-1)^n. Isso significa que os termos da série mudam de sinal a cada passo.

Passo 3

O Teste da Série Alternada nos ajuda a determinar a convergência de séries que alternam sinais. Segundo esse teste, uma série alternada sum (-1)^n an converge se:
  1. Os termos an são decrescentes.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero, ou seja, limn to infty an = 0.

Passo 4

Vamos definir an = n^3n^4+3. Agora, precisamos verificar se an é decrescente e se o limite de an é zero quando n cresce.

Passo 5

Primeiro, calculamos o limite de an:
Portanto, a segunda condição do teste é satisfeita.

Passo 6

Agora, verificamos se an é decrescente. Observamos que, conforme n aumenta, o denominador n^4 + 3 cresce muito mais rápido que o numerador n^3, fazendo com que an diminua à medida que n aumenta.

Passo 7

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são atendidas (termos decrescentes e limite zero), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série sumn=2^+infty (-1)^n n^3n^4+3 converge.

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f) integral raiz4-9 x^2 d x
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integral d xx raizx^2-a^2=1a arcsec(xa)+C, com a>0