Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: precisamos decidir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a série é alternada devido ao termo
. Isso significa que os termos da série mudam de sinal a cada passo.
Passo 3
O Teste da Série Alternada nos ajuda a determinar a convergência de séries que alternam sinais. Segundo esse teste, uma série alternada
converge se:
- Os termos
são decrescentes. - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Passo 4
Vamos definir
. Agora, precisamos verificar se
é decrescente e se o limite de
é zero quando
cresce.
Passo 5
Primeiro, calculamos o limite de
:
Portanto, a segunda condição do teste é satisfeita.
Passo 6
Agora, verificamos se
é decrescente. Observamos que, conforme
aumenta, o denominador
cresce muito mais rápido que o numerador
, fazendo com que
diminua à medida que
aumenta.
Passo 7
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são atendidas (termos decrescentes e limite zero), podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série
converge.
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.
Calcule as integrais:
f)
f)
Calcule as integrais:
f)
f)
Use a substituição trigonométrica para resolver a integral: