Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumk=0^+infty k^kk!.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender alguns testes de convergência, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma de seus termos se aproxima de um número finito conforme vamos aumentando o número de termos. Caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos que envolvem fatorias ou potências. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos identificar ak+1 = (k+1)^k+1(k+1)! . Então:
ak+1ak = (k+1)^k+1(k+1)! cdot k!k^k = (k+1)^k+1k^k (k+1) = (1 + 1k)^k cdot (k+1)
Agora, calculamos a razão:

Passo 5

Sabemos que limk to infty (1 + 1k)^k cdot (k+1) = e cdot limk to infty (k+1) = +infty se aproxima de quando tende ao infinito. Então, temos:

Passo 6

Como o limite , pelo Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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