Calcule as integrais:
f) integral raiz4-9 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição trigonométrica, que nos ajuda a simplificar integrais com expressões como .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos dentro da raiz quadrada: x = 23 sintheta . Isso se parece com a expressão , onde e . A substituição trigonométrica apropriada para essa forma é . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos encontrar dx = 23 costheta , dtheta em termos de . Diferenciando ambos os lados da equação , temos:

Passo 4

Vamos substituir integral raiz4 - 9x^2 , dx = integral raiz4 - 9(23 sintheta)^2 cdot 23 costheta , dtheta e raiz4 - 9 cdot 49 sin^2theta = raiz4 - 4 sin^2theta = raiz4(1 - sin^2theta) = raiz4 cos^2theta = 2 costheta na integral original:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral 2 costheta cdot 23 costheta , dtheta = 43 integral cos^2theta , dtheta

Passo 6

Para integrar cos^2theta = 1 + cos2theta2 , usamos a identidade trigonométrica:
43 integral 1 + cos2theta2 , dtheta = 23 integral (1 + cos2theta) , dtheta = 23 ( theta + sin2theta2 ) + C
Então, a integral fica:
23 theta + 23 cdot sin2theta2 + C = 23 theta + 13 sin2theta + C
Simplificando:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original sintheta = 3x2 . Lembramos que fizemos a substituição sin2theta = 2 cdot 3x2 cdot raiz4 - 9x^22 = 3x raiz4 - 9x^22 , então:
Dessa forma, . Além disso, usamos a identidade . Sabemos que . Portanto:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da integral:
23 arcsin( 3x2 ) + 13 cdot 3x raiz4 - 9x^22 + C = 23 arcsin( 3x2 ) + x raiz4 - 9x^22 + C

Resposta

A integral de 23 arcsin( 3x2 ) + x raiz4 - 9x^22 + C é:

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