Calcule as integrais:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição trigonométrica, que nos ajuda a simplificar integrais com expressões como
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que temos dentro da raiz quadrada:
. Isso se parece com a expressão
, onde
e
. A substituição trigonométrica apropriada para essa forma é
. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
em termos de
. Diferenciando ambos os lados da equação
, temos:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembramos que fizemos a substituição
, então:
Dessa forma,
. Além disso, usamos a identidade
. Sabemos que
. Portanto:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da integral:
Resposta
A integral de
é:
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Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Use a substituição trigonométrica para resolver a integral:
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.