Use a substituição trigonométrica para resolver a integral:
integral d xx raizx^2-a^2=1a arcsec(xa)+C, com a>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver essa integral usando substituição trigonométrica. O enunciado é:
integral dxx raizx^2-a^2 = 1a arcsec(xa) + C, com a > 0
Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de uma raiz, e para isso a substituição trigonométrica é uma ferramenta super útil. Vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas e como aplicá-las em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observamos que temos raizx^2 - a^2, que se assemelha à forma raizsec^2theta - 1 = tantheta. Então, vamos fazer a substituição:
x = a sectheta
Isso nos ajudará a simplificar a raiz. Agora, vamos calcular dx em termos de theta:
dx = a sectheta tantheta , dtheta

Passo 3

Substituímos x e dx na integral original:
integral dxx raizx^2-a^2 = integral a sectheta tantheta , dthetaa sectheta cdot raiza^2 sec^2theta - a^2
Simplificando dentro da raiz:
raiza^2 sec^2theta - a^2 = raiza^2 (sec^2theta - 1) = raiza^2 tan^2theta = a tantheta
Então, nossa integral fica:
integral a sectheta tantheta , dthetaa sectheta cdot a tantheta = integral a sectheta tanthetaa^2 sectheta tantheta , dtheta = integral 1a , dtheta = 1a theta + C

Passo 4

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = a sectheta, então:
Portanto, substituindo sectheta = xa implies theta = arcsec(xa) na nossa solução:

Resposta

integral dxx raizx^2-a^2 = 1a arcsec(xa) + C, com a > 0

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