Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=0^+infty n^3+42^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que decidir se a série sumn=0^+infty n^3+42^n converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de séries infinitas na matemática, onde aprendemos vários testes para verificar a convergência. Para resolver, vamos precisar entender sobre o Teste da Razão e o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série geral: n^3+42^n. Percebe que no numerador temos um polinômio de terceiro grau ( n^3) e no denominador uma função exponencial ( 2^n). Geralmente, funções exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios, o que já dá uma dica de que a série pode convergir, mas vamos verificar isso direitinho.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a ver o comportamento geral dos termos da série quando n tende ao infinito. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando isso à nossa série:
an = n^3+42^n
Então,
an+1an = (n+1)^3+42^n+1 cdot 2^nn^3+4 = (n+1)^3+42(n^3+4)

Passo 5

Vamos simplificar e calcular o limite:
L = limn to infty (n+1)^3+42(n^3+4)
Expandindo (n+1)^3:
(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1
Então,
L = limn to infty n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 42n^3 + 8 = limn to infty n^3 + 3n^2 + 3n + 52n^3 + 8

Passo 6

Dividindo numerador e denominador por n^3:
L = limn to infty 1 + 3n + 3n^2 + 5n^32 + 8n^3 = 1 + 0 + 0 + 02 + 0 = 12

Passo 7

Como L = 12 < 1, segundo o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumn=0^+infty n^3+42^n converge.

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