Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas inicialmente apenas uma pessoa seja portador de um vírus e que a taxa com que o vírus se espalha na comunidade seja proporcional tanto ao número de pessoas infectadas como também ao número de pessoas não infectadas. Se for observado que, após 4 semanas, 5 pessoas estão infectadas, determine o número de pessoas infectadas em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com modelagem de crescimento de uma doença, usando equações diferenciais. A ideia é descobrir como o número de pessoas infectadas cresce ao longo do tempo, baseado nas informações que temos sobre a comunidade e a propagação do vírus.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cenário: temos uma comunidade de 100 pessoas, com inicialmente 1 pessoa infectada. A taxa de espalhamento do vírus depende tanto do número de infectados quanto dos não infectados. Isso é típico de um crescimento logístico, onde o crescimento diminui à medida que mais pessoas ficam infectadas.

Passo 3

Vamos usar a equação diferencial para o crescimento logístico:
Onde:
  • é o número de pessoas infectadas
  • é o número total da comunidade (100 pessoas)
  • é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar

Passo 4

Para resolver essa equação, separamos as variáveis e integramos:
Integrando o lado esquerdo usando frações parciais, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, resolvemos para :
Exponentiando ambos os lados:
Onde .

Passo 6

Resolvendo para :
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .

Passo 7

Sabemos que quando , :
Então, .

Passo 8

Também sabemos que após 4 semanas, :
Resolvendo essa equação para , encontramos que está relacionado à taxa de crescimento.

Passo 9

Finalmente, substituindo e rearranjando a fórmula, a expressão final para o número de pessoas infectadas em função do tempo é:

Resposta

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