Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas inicialmente apenas uma pessoa seja portador de um vírus e que a taxa com que o vírus se espalha na comunidade seja proporcional tanto ao número de pessoas infectadas como também ao número de pessoas não infectadas. Se for observado que, após 4 semanas, 5 pessoas estão infectadas, determine o número de pessoas infectadas em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com modelagem de crescimento de uma doença, usando equações diferenciais. A ideia é descobrir como o número de pessoas infectadas cresce ao longo do tempo, baseado nas informações que temos sobre a comunidade e a propagação do vírus.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cenário: temos uma comunidade de 100 pessoas, com inicialmente 1 pessoa infectada. A taxa de espalhamento do vírus depende tanto do número de infectados quanto dos não infectados. Isso é típico de um crescimento logístico, onde o crescimento diminui à medida que mais pessoas ficam infectadas.
Passo 3
Vamos usar a equação diferencial para o crescimento logístico:
Onde:
-
é o número de pessoas infectadas -
é o número total da comunidade (100 pessoas) -
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar
Passo 4
Para resolver essa equação, separamos as variáveis e integramos:
Integrando o lado esquerdo usando frações parciais, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Exponentiando ambos os lados:
Onde
.
Passo 6
Resolvendo para
:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 7
Sabemos que quando
,
:
Então,
.
Passo 8
Também sabemos que após 4 semanas,
:
Resolvendo essa equação para
, encontramos que
está relacionado à taxa de crescimento.
Passo 9
Finalmente, substituindo
e rearranjando a fórmula, a expressão final para o número de pessoas infectadas em função do tempo é:
Resposta
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