Calcule as integrais:
(f) integral x sec ^2(3 x) d x

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral de . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente utilizando a técnica de integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar duas partes na função que vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, escolhemos . De acordo com a regra de diferenciação, a derivada de será .

Passo 3

Agora, o que resta para ser é a parte que sobra da integral original, ou seja, . Para encontrar , precisamos integrar .

Passo 4

Integrando v = integral sec^2(3x) , dx , temos:
v = tan(3x)3
Sabemos que , onde é uma constante. Aplicando isso, obtemos:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x sec^2(3x) , dx = x cdot tan(3x)3 - integral tan(3x)3 , dx

Passo 6

Precisamos calcular agora a integral integral tan(3x)3 , dx = 13 cdot ( -ln|cos(3x)|3 ) + C = -ln|cos(3x)|9 + C . Sabemos que . Aplicando isso:

Passo 7

Substituímos esse resultado de volta na expressão anterior:
integral x sec^2(3x) , dx = x tan(3x)3 - ( -ln|cos(3x)|9 ) + C
Simplificando:
integral x sec^2(3x) , dx = x tan(3x)3 + ln|cos(3x)|9 + C
Como integral x sec^2(3x) , dx = x tan(3x)3 - ln|sec(3x)|9 + C , podemos reescrever:

Resposta

integral x sec^2(3x) , dx = x tan(3x)3 - ln|sec(3x)|9 + C

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