(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de
em relação a
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de funções.
Passo 2
A integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher quais funções serão
e
. Geralmente, escolhemos
de forma que sua derivada seja mais simples, e
seja algo que possamos integrar facilmente.
Aqui, vamos escolher:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Derivando
:
Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma nova integral:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para resolver essa integral. Escolhemos:
Derivando
:
Integrando
:
Passo 6
Aplicando a segunda integração por partes:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 7
Vamos chamar a integral original de
:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos resolver para
. Somamos
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
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Calcule:
(j)
(j)
dre
Calcule as integrais:
(f)
(f)
Calcule as seguintes integrais definidas
(b)
(b)