(a) integral e^-theta cos (2 theta), d theta

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de funções.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher quais funções serão u = e^-theta e dv = cos(2theta) dtheta e . Geralmente, escolhemos de forma que sua derivada seja mais simples, e seja algo que possamos integrar facilmente.
Aqui, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddtheta e^-theta dtheta = -e^-theta dtheta e v = integral cos(2theta) dtheta = 12 sin(2theta) :
Derivando :
Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^-theta cos(2theta) dtheta = u v - integral v , du
Substituindo os valores encontrados:
= e^-theta cdot 12 sin(2theta) - integral 12 sin(2theta) cdot (-e^-theta) dtheta
Simplificando:
= 12 e^-theta sin(2theta) + 12 integral e^-theta sin(2theta) dtheta

Passo 5

Agora, temos uma nova integral: u = e^-theta e dv = sin(2theta) dtheta . Vamos aplicar novamente a integração por partes para resolver essa integral. Escolhemos:
du = -e^-theta dtheta
Derivando v = -12 cos(2theta) :
Integrando :

Passo 6

Aplicando a segunda integração por partes:
integral e^-theta sin(2theta) dtheta = u v - integral v , du
Substituindo os valores:
= e^-theta cdot (-12cos(2theta)) - integral (-12cos(2theta)) cdot (-e^-theta) dtheta
Simplificando:
= -12 e^-theta cos(2theta) - 12 integral e^-theta cos(2theta) dtheta

Passo 7

Vamos chamar a integral original de I = integral e^-theta cos(2theta) dtheta :
I = 12 e^-theta sin(2theta) + 12 ( -12 e^-theta cos(2theta) - 12 I )
Substituindo na equação anterior:
I = 12 e^-theta sin(2theta) - 14 e^-theta cos(2theta) - 14 I
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos resolver para I + 14 I = 12 e^-theta sin(2theta) - 14 e^-theta cos(2theta) . Somamos 54 I = 12 e^-theta sin(2theta) - 14 e^-theta cos(2theta) de ambos os lados:
I = 45 ( 12 e^-theta sin(2theta) - 14 e^-theta cos(2theta) )
I = 25 e^-theta sin(2theta) - 15 e^-theta cos(2theta) + C
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

integral e^-theta cos(2theta) dtheta = 25 e^-theta sin(2theta) - 15 e^-theta cos(2theta) + C

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