Calcule as seguintes integrais definidas
§ integral0^1 x^3+x^2+2 x+1(x^2+1)(x^2+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral0^1 x^3+x^2+2x+1(x^2+1)(x^2+2) , dx
Aqui, vamos usar o conteúdo de frações parciais, que ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Vamos precisar simplificar a expressão racional antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é menor que o do denominador. O grau do numerador é 3 (por ) e o do denominador é 4 (porque resulta em um polinômio de grau 4). Como 3 < 4, não precisamos fazer divisão polinomial. Podemos seguir para as frações parciais diretamente.

Passo 3

Vamos expressar a razão como uma soma de frações parciais. Geralmente, quando o denominador tem fatores quadráticos que não se repetem, assumimos a seguinte forma:
x^3+x^2+2x+1(x^2+1)(x^2+2) = Ax + Bx^2+1 + Cx + Dx^2+2
Aqui, , , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x^3 + x^2 + 2x + 1 = (Ax + B)(x^2 + 2) + (Cx + D)(x^2 + 1) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, expandimos o lado direito:
(Ax + B)(x^2 + 2) = A x^3 + 2A x + B x^2 + 2B
(Cx + D)(x^2 + 1) = C x^3 + C x + D x^2 + D
Somando as duas expressões:
A x^3 + 2A x + B x^2 + 2B + C x^3 + C x + D x^2 + D = (A + C) x^3 + (B + D) x^2 + (2A + C) x + (2B + D)

Passo 6

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes do lado esquerdo e direito da equação:
A + C = 1 (coeficiente de x^3) B + D = 1 (coeficiente de x^2) 2A + C = 2 (coeficiente de x) 2B + D = 1 (termo constante)

Passo 7

Resolvemos esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 2A + (1 - A) = 2 Rightarrow A + 1 = 2 Rightarrow A = 1
  2. Substituímos 2B + D = 1 na terceira equação:
(2B + D) - (B + D) = 1 - 1 Rightarrow B = 0
  1. Então,
  2. Da segunda equação:
  3. Da quarta equação:
Subtraindo a segunda equação da quarta:
  1. Finalmente,

Passo 8

Com os valores encontrados:
A = 1, B = 0, C = 0, D = 1
A fração parcial fica:
x^3+x^2+2x+1(x^2+1)(x^2+2) = 1 cdot x + 0x^2+1 + 0 cdot x + 1x^2+2 = xx^2+1 + 1x^2+2

Passo 9

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral xx^2+1 , dx + integral 1x^2+2 , dx
Vamos integrar cada uma separadamente.

Passo 10

Primeira integral:
integral xx^2+1 , dx
Fazemos a substituição 12 integral duu = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C , então integral 1x^2+2 , dx
A integral fica:
1raiz2 tan^-1(xraiz2) + C
Segunda integral:
Reconhecemos que , onde
Então:

Passo 11

Juntando as duas integrais, temos que a primitiva é:
12 ln(x^2 + 1) + 1raiz2 tan^-1(xraiz2) + C

Passo 12

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
[ 12 ln(1^2 + 1) + 1raiz2 tan^-1(1raiz2) ] - [ 12 ln(0^2 + 1) + 1raiz2 tan^-1(0raiz2) ]
Simplificando:
12 ln(2) + 1raiz2 tan^-1(1raiz2) - ( 12 ln(1) + 1raiz2 tan^-1(0) )
Como 12 ln(2) + 1raiz2 tan^-1(1raiz2) e , fica:

Resposta

12 ln(2) + 1raiz2 tan^-1(1raiz2)

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Calcule as seguintes integrais definidas
(b) integral1^2(1+1u) d u
Calcule as integrais:
(f) integral x sec ^2(3 x) d x
(a) integral1^infty 1x(ln x)^3 d x
Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
(f) integral0^infty sen xx^2-cos xx d x