Aqui, vamos usar o conteúdo de frações parciais, que ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Vamos precisar simplificar a expressão racional antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é menor que o do denominador. O grau do numerador é 3 (por ) e o do denominador é 4 (porque resulta em um polinômio de grau 4). Como 3 < 4, não precisamos fazer divisão polinomial. Podemos seguir para as frações parciais diretamente.
Passo 3
Vamos expressar a razão como uma soma de frações parciais. Geralmente, quando o denominador tem fatores quadráticos que não se repetem, assumimos a seguinte forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, expandimos o lado direito:
Somando as duas expressões:
Passo 6
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes do lado esquerdo e direito da equação:
Passo 7
Resolvemos esse sistema de equações:
Da primeira equação: 2A + (1 - A) = 2 Rightarrow A + 1 = 2 Rightarrow A = 1
Substituímos 2B + D = 1 na terceira equação:
(2B + D) - (B + D) = 1 - 1 Rightarrow B = 0
Então,
Da segunda equação:
Da quarta equação:
Subtraindo a segunda equação da quarta:
Finalmente,
Passo 8
Com os valores encontrados:
A = 1, B = 0, C = 0, D = 1
A fração parcial fica:
x^3+x^2+2x+1(x^2+1)(x^2+2) = 1 cdot x + 0x^2+1 + 0 cdot x + 1x^2+2 = xx^2+1 + 1x^2+2
Passo 9
Agora, podemos integrar termo a termo:
integral xx^2+1 , dx + integral 1x^2+2 , dx
Vamos integrar cada uma separadamente.
Passo 10
Primeira integral:
integral xx^2+1 , dx
Fazemos a substituição 12 integral duu = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C , então integral 1x^2+2 , dx
A integral fica:
1raiz2 tan^-1(xraiz2) + C
Segunda integral:
Reconhecemos que , onde
Então:
Passo 11
Juntando as duas integrais, temos que a primitiva é:
12 ln(x^2 + 1) + 1raiz2 tan^-1(xraiz2) + C
Passo 12
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1: