Calcule as integrais fazendo a substituição necessária. integral e^raizyraizy d y

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral integral e^raizyraizy , dy. Esse exercício é de cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável, simplificando assim a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Observando a expressão e^raizy, percebemos que a parte dentro do expoente, raizy, pode ser uma boa candidata para substituição. Vamos definir:
u = raizy

Passo 3

Agora, precisamos expressar dy em termos de du. Para fazer isso, derivamos ambos os lados da substituição em relação a y:
u = y^1/2 dudy = 12 y^-1/2 du = 12 raizy , dy dy = 2 raizy , du

Passo 4

Substituímos u e dy na integral original:
integral e^raizyraizy , dy = integral e^uraizy cdot 2 raizy , du
Simplificando a expressão:
= integral 2 e^u , du

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
integral 2 e^u , du = 2 integral e^u , du
Sabemos que a integral de e^u em relação a u é e^u + C, onde C é a constante de integração.

Passo 6

Integrando:
2 integral e^u , du = 2 e^u + C
Agora, substituímos u de volta por raizy:
2 e^raizy + C

Resposta

A integral integral e^raizyraizy , dy é igual a 2 e^raizy + C, onde C é a constante de integração.

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