Calcule as integrais fazendo a substituição necessária.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo substituição. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para facilitar a resolução. Observando a função dentro da função secante, temos . Vamos fazer essa substituição:
Seja .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar em termos de . Isolando :

Passo 5

Agora, vamos substituir e na integral original:

Passo 6

A integral de em relação a é uma integral direta que conhecemos da tabela de integrais:
Portanto:

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Resolva os PVIs abaixo, usando o método que preferir.
Calcule as integrais indefinidas usando as substituições dadas.
Calcule as integrais fazendo a substituição necessária.
Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(e) .