Calcule as integrais fazendo a substituição necessária. integral x^2 sec ^2(x^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo substituição. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para facilitar a resolução. Observando a função dentro da função secante, temos . Vamos fazer essa substituição:
Seja .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 dx para substituir na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar x^2 dx = du3 em termos de . Isolando :

Passo 5

Agora, vamos substituir integral x^2 sec^2(x^3) dx = integral sec^2(u) cdot du3 = 13 integral sec^2(u) du e na integral original:

Passo 6

A integral de integral sec^2(u) du = tan(u) + C em relação a 13 integral sec^2(u) du = 13 tan(u) + C é uma integral direta que conhecemos da tabela de integrais:
Portanto:

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original substituindo 13 tan(u) + C = 13 tan(x^3) + C :

Resposta

A integral é igual a .

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