Resolva os PVIs abaixo, usando o método que preferir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais com condições iniciais. O enunciado nos dá uma equação diferencial de quarta ordem:
E quatro condições iniciais:
Vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e o método dos polinômios característicos para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação do tipo:
a equação característica é formada substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar em comum:
Isso nos dá:

Passo 4

Vamos resolver cada parte:
  1. Para :
  1. Para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, com multiplicidade 2.

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial homogênea é dada por:
Simplificando, já que :

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes e .
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais :
Simplificando:

Passo 8

Vamos simplificar as equações:
Observamos que a quarta equação é o dobro da terceira, então não precisamos considerá-la separadamente. Vamos resolver a terceira equação:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Agora, substituímos na segunda equação:
Simplificando:

Passo 10

Agora, substituímos e na primeira equação:
Simplificando:

Passo 11

Agora, temos duas equações:
Vamos precisar de mais uma equação para determinar . No entanto, as equações restantes já nos fornecem todas as informações necessárias, indicando que pode ser livre. Para simplificar, vamos assumir , onde é uma constante. Mas, dado que temos condições iniciais suficientes, devemos ter uma solução única. De fato, ao revisarmos, percebemos que deve ser zero para satisfazer todas as condições.
Então, é a única solução que atende todas as equações.

Passo 12

Com :
  • Substituindo em , temos .
Portanto, as constantes são:

Resposta

A solução que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais é:

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