Resolva os PVIs abaixo, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais com condições iniciais. O enunciado nos dá uma equação diferencial de quarta ordem:
E quatro condições iniciais:
Vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e o método dos polinômios característicos para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação do tipo:
a equação característica é formada substituindo
por
:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar
em comum:
Isso nos dá:
Passo 4
Vamos resolver cada parte:
- Para
:
- Para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
com multiplicidade 2.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial homogênea é dada por:
Simplificando, já que
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes
e
.
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais
:
Simplificando:
Passo 8
Vamos simplificar as equações:
Observamos que a quarta equação é o dobro da terceira, então não precisamos considerá-la separadamente. Vamos resolver a terceira equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, substituímos
na segunda equação:
Simplificando:
Passo 10
Agora, substituímos
e
na primeira equação:
Simplificando:
Passo 11
Agora, temos duas equações:
Vamos precisar de mais uma equação para determinar
. No entanto, as equações restantes já nos fornecem todas as informações necessárias, indicando que
pode ser livre. Para simplificar, vamos assumir
, onde
é uma constante. Mas, dado que temos condições iniciais suficientes, devemos ter uma solução única. De fato, ao revisarmos, percebemos que
deve ser zero para satisfazer todas as condições.
Então,
é a única solução que atende todas as equações.
Passo 12
Com
:
-
- Substituindo em
, temos .
Portanto, as constantes são:
Resposta
A solução que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais é:
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