Investigue a continuidade nos pontos indicados:
(h)
em
.
(h)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar a continuidade da função
no ponto
. A função está definida por partes:
Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular os limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Então, para verificar se
é contínua em
, vamos checar cada uma dessas condições.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
. Como
, usamos a primeira parte da função:
Então,
está definida e vale 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função conforme
se aproxima de
pela direita, ou seja,
se aproxima de
com valores maiores que
. Nesse caso, usamos
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o limite da função conforme
se aproxima de
pela esquerda, ou seja,
se aproxima de
com valores menores que
. Aqui, usamos
. Sabemos que
quando
, então:
Portanto:
Passo 6
Agora, comparamos os limites e o valor de
:
Como os limites laterais não são iguais (
), o limite geral
não existe.
Resposta
A função
não é contínua em
porque os limites laterais são diferentes.
Exercícios relacionados
Derive cada função dos exercícios 9. a 17. (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)
Calcule os limites
(f)
(f)
Determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
(b)
(b)
Calcule as integrais fazendo a substituição necessária.