Investigue a continuidade nos pontos indicados:
(h) em .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar a continuidade da função no ponto . A função está definida por partes:
Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular os limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, para verificar se é contínua em , vamos checar cada uma dessas condições.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular . Como , usamos a primeira parte da função:
Então, está definida e vale 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função conforme se aproxima de pela direita, ou seja, se aproxima de com valores maiores que . Nesse caso, usamos :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o limite da função conforme se aproxima de pela esquerda, ou seja, se aproxima de com valores menores que . Aqui, usamos . Sabemos que quando , então:
Portanto:

Passo 6

Agora, comparamos os limites e o valor de :
Como os limites laterais não são iguais ( ), o limite geral não existe.

Resposta

A função não é contínua em porque os limites laterais são diferentes.

Exercícios relacionados

Derive cada função dos exercícios 9. a 17. (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)
Calcule os limites
(f)
Determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
(b)
Calcule as integrais fazendo a substituição necessária.