(6,0) Calcule as integrais fazendo uso da Tabela de integrais indefinidas.
integral tg^3(pi x / 6) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a tabela de integrais indefinidas e algumas técnicas de manipulação algébrica das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tan^3(u) = tan(u) cdot tan^2(u) pode ser reescrita para facilitar a integração. Sabemos que:
tan^2(u) = sec^2(u) - 1
E também sabemos que:
tan^3(u) = tan(u) cdot (sec^2(u) - 1)
Então, substituindo:

Passo 3

Agora, vamos substituir isso na nossa integral:
integral tan^3(pi x6) dx = integral tan(pi x6) cdot (sec^2(pi x6) - 1) dx
Isso separa a integral em duas partes mais simples:
= integral tan(pi x6) sec^2(pi x6) dx - integral tan(pi x6) dx

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente. Começando pela primeira integral:
integral tan(pi x6) sec^2(pi x6) dx
Aqui, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar:
u = tan(pi x6)
Então, a derivada de du = pi6 sec^2(pi x6) dx Rightarrow dx = 6pi cdot dusec^2(pi x6) em relação a integral u cdot sec^2(pi x6) cdot 6pi cdot dusec^2(pi x6) = 6pi integral u , du é:
6pi cdot u^22 + C = 3pi u^2 + C = 3pi tan^2(pi x6) + C
Substituindo na integral:
Integrando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral tan(pi x6) dx
Sabemos que a integral de integral tan(pi x6) dx = -6pi ln|cos(pi x6)| + C é . Aplicando isso:

Passo 6

Juntando as duas partes que resolvemos:
integral tan^3(pi x6) dx = 3pi tan^2(pi x6) - 6pi ln|cos(pi x6)| + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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