(Use o método da separação de variáveis) Em uma mistura reacional a uma temperatura fixa, a concentração de um reagente
varia com o tempo
de acordo com a equação diferencial:
Integre a equação com os limites de contorno em que
e
para obter a seguinte equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que descreve como a concentração de um reagente
muda com o tempo
. Usaremos o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação. Precisamos integrar a equação dada com as condições iniciais
e
para chegar na equação final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
para poder integrar. Isso significa reorganizar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro.
Passo 3
Vamos dividir ambos os lados da equação por
e multiplicar por
:
Agora, as variáveis estão separadas:
de um lado e
do outro.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
e a integral de
em relação a
:
Passo 5
Calculando as integrais:
- A integral de
é . - A integral de
é .
Então, temos:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos renomear a constante
como
, então:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante
. Quando
,
:
Passo 8
Substituindo
de volta na equação:
E rearranjando:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre o limite
, se existir.
Verifique se a curva
é contínua no ponto
.
Considere as curvas
e
k. Determine o domínio de
e exiba o maior conjunto em que
é contínua.