1,0 (Use o método da separação de variáveis) Em uma mistura reacional a uma temperatura fixa, a concentração de um reagente [A] varia com o tempo t de acordo com a equação diferencial:
d[A]/dt = -2 k[A]^2
Integre a equação com os limites de contorno em que t = 0 e [A] = [A]0 para obter a seguinte equação:
1/[A] - 1/[A]0 = 2 k t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que descreve como a concentração de um reagente muda com o tempo . Usaremos o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação. Precisamos integrar a equação dada com as condições iniciais e para chegar na equação final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Nosso objetivo é separar as variáveis e para poder integrar. Isso significa reorganizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro.

Passo 3

Vamos dividir ambos os lados da equação por e multiplicar por :
Agora, as variáveis estão separadas: de um lado e do outro.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de em relação a e a integral de em relação a :

Passo 5

Calculando as integrais:
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Então, temos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos renomear a constante como , então:

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Quando , :

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
E rearranjando:

Resposta

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