Verifique se a curva r(t) = cos(t^2) i + t^2/sen^2(t) j + e^(5t) k é contínua no ponto t = 0.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida por uma função vetorial e precisa verificar se essa curva é contínua no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções vetoriais, que basicamente envolvem verificar se cada componente da função é contínua no ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a componente . Sabemos que a função cosseno é contínua para todos os valores de . Além disso, o argumento também é contínuo. Portanto, a composição de funções contínuas continua sendo contínua. Então, é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a componente . Aqui, temos uma divisão onde o numerador é e o denominador é . Sabemos que tanto quanto são contínuos. Porém, em , , o que nos dá uma forma indeterminada . Para resolver isso, vamos usar o limite.
Sabemos que:
Então, podemos reescrever como:
E, aplicando o limite:
Portanto, essa componente também é contínua em .

Passo 4

Por fim, vamos analisar a componente . A função exponencial é contínua para todos os valores de , então é contínua em .

Resposta

Como todas as componentes , e são contínuas em , concluímos que a curva é contínua no ponto .

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