Verifique se a curva
é contínua no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida por uma função vetorial
e precisa verificar se essa curva é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções vetoriais, que basicamente envolvem verificar se cada componente da função é contínua no ponto em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a componente
. Sabemos que a função cosseno é contínua para todos os valores de
. Além disso, o argumento
também é contínuo. Portanto, a composição de funções contínuas continua sendo contínua. Então,
é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a componente
. Aqui, temos uma divisão onde o numerador é
e o denominador é
. Sabemos que tanto
quanto
são contínuos. Porém, em
,
, o que nos dá uma forma indeterminada
. Para resolver isso, vamos usar o limite.
Sabemos que:
Então, podemos reescrever
como:
E, aplicando o limite:
Portanto, essa componente também é contínua em
.
Passo 4
Por fim, vamos analisar a componente
. A função exponencial é contínua para todos os valores de
, então
é contínua em
.
Resposta
Como todas as componentes
,
e
são contínuas em
, concluímos que a curva
é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Integre a equação com os limites de contorno em que
e
para obter a seguinte equação:
Considere as curvas
e
k. Determine o domínio de
e exiba o maior conjunto em que
é contínua.
Considere as curvas
e
k. Determine a curva
dada por